[論文レビュー] Continuous versus discrete structures I -- Discrete embeddings and ordinary differential equations

Jacky Cresson, Frédéric Pierret|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Numerical methods for differential equations参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、補間および射影写像を用いて連続的常微分方程式（ODE）の離散的類似物を体系的に導出するための統一的抽象的枠組みである「離散的埋め込み形式」を導入する。3つの主な離散的埋め込み—微分的、積分的、変分的—を確立し、台形則や前向きシンプソン法といった古典的数値スキームを高次の精度で回復する。幾何的数値積分のための圏論的で構造を保存するアプローチを提供する。

ABSTRACT

We define an abstract framework called {\it discrete finite differences embedding} which can be used to obtain discrete analogue of formal functional relations in the spirit of category theory. For ordinary differential equations we exhibit three main discrete associate : the differential, integral or variational discrete embeddings which corresponds to classical numerical scheme including variational integrators.

研究の動機と目的

• 連続的な関数的関係（ODEにおけるもの）の離散的類似物を構成する一般的で抽象的な枠組みを開発すること。圏論にインspiredされたものである。
• 離散化プロセスに関与する数学的対象（関数、作用素など）の数と、どの連続的構造が保存されるかを明確にすること。
• 台形則やシンプソンの法則といった古典的数値法を、離散的埋め込みに基づく単一の形式主義に統合すること。
• 通常は1次近似しか得られない時間スケール微積分学の代替として、体系的で高次の代替を提供すること。
• 幾何的数値積分の主要な結果（例：変分積分法、離散的オイラー＝ラグランジュ方程式）を、より一貫性があり概念的な方法で再導出すること。

提案手法

• 離散的関数空間と連続的関数空間を結ぶ補間（リフト）写像と射影写像を用いた離散的埋め込み形式を導入する。
• 3つの主要な離散的埋め込み（微分的、積分的、変分的）を定義し、それぞれが異なるクラスの数値スキームに対応する。
• 2次および3次補間写像を用いて、2次および3次精度の離散的微分および積分を構築する。
• 双対写像と内積を用いて、離散的原始関数および離散的部分積分の明示的公式を導出する。
• 離散的微分方程式および離散的積分方程式を定義することで、ODEにこの形式を適用する。
• 直接計算と標準的参考文献との比較を通じて、離散的埋め込みと古典的数値スキームとの等価性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的ODEを離散的有限差分方程式に埋め込むための体系的で構造を保存する枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 連続的関数的関係の一貫した離散的類似物を定義するために、最小限の代数的および位相的構造は何か？
• RQ3 古典的数値スキーム（例：台形則、シンプソンの法則）が、統一的離散的埋め込み形式から自然にどのように出現するか？
• RQ4 圏論的で埋め込みに基づく枠組み内で、1次を超える高次の精度をどのように達成できるか？
• RQ5 この形式は、時間スケール微積分学や幾何的数値積分といった既存のアプローチを、どのように改善または一般化するか？

主な発見

• 2次の場合の離散的微分埋め込みは、古典的な台形則および前向き中点スキームと正確に一致する。
• 2次の場合の離散的積分埋め込みは、明示的な和公式を通じて、標準的な1段階台形則および前向き中点法を回復する。
• 3次離散的埋め込みは、前向きシンプソン数値スキームをもたらし、$ X_{3k+2} $ の明示的公式が古典的な3次法と一致する。
• 離散的変分的埋め込みは、マーデン＝ウエストの変分積分法フレームワークに整合する離散的オイラー＝ラグランジュ方程式を導く。
• この形式は、離散的部分積分および離散的微分積分学の基本定理の新しい統一的導出を提供する。
• 枠組みは一貫性があり構造を保存する。離散的微分および積分埋め込みが既知の高次精度数値スキームと等価であることが実証された。