[論文レビュー] Continuum as a primitive type

Stanisław Ambroszkiewicz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、タイプ理論における連続体を、ブールの直感主義的連続性の視点に裏付けられた原始的型として扱うべきだと提唱する。集合論的構成（例：コーシー列やデデキンド切断）を避けて、隣接性を基礎的概念として導入することで、古典的な実数の定義とは異なり、構成的代替案を提示する。また、連続性の公理ではなく、新しい論理的原則を通じてブールの連続性定理を再解釈する。

ABSTRACT

It is a ubiquitous opinion among mathematicians that a real number is just a point in the line. If this rough definition is not enough, then a mathematician may provide a formal definition of the real numbers in the set theoretic and axiomatic fashion, i.e. via Cauchy sequences or Dedekind cuts, or as the collection of axioms characterizing exactly (up to isomorphism) the set of real numbers as the complete and totally ordered Archimedean field. Actually, the above notions of the real numbers are abstract and do not have a constructive grounding. Definition of Cauchy sequences, and equivalence classes of these sequences explicitly use the actual infinity. The same is for Dedekind cuts, where the set of rational numbers is used as actual infinity. Although there is no direct constructive grounding for these abstract notions, there are so called intuitions on which they are based. A rigorous approach to express these very intuition in a constructive way is proposed. It is based on the concept of the adjacency relation that seems to be a missing primitive concept in type theory. The approach corresponds to the intuitionistic view of Continuum proposed by Brouwer. The famous and controversial Brouwer Continuity Theorem is discussed on the basis of different principle than the Axiom of Continuity.

研究の動機と目的

• 実無限に基づく標準的な実数の定義における構成的根拠の欠如に応えること。
• タイプ理論において、隣接性が欠落している原始的概念であることを特定すること。
• ブールの見解と整合的な、直感主義的で整合性のある連続体の基礎を提供すること。
• 連続性の公理ではなく、他の原則を用いてブールの連続性定理を再導出すること。
• コーシー列やデデキンド切断のような抽象的で非構成的な構成を、より直感的で構成的な枠組みに置き換えること。

提案手法

• 連続体上の点の間の隣接性を原始的関係として導入し、集合論的構成を置き換える。
• 有理数から導かれるのではなく、連続体そのものを原始的として扱うタイプ理論の枠組みを構築する。
• ε-δ や極限に基づく定義ではなく、隣接性に基づく関数の連続性を直感主義論理で形式化する。
• 連続性の公理を、隣接性に根ざした新しい基礎的原則に置き換えることで、ブールの連続性定理を再解釈する。
• 有理数の無限集合や同値類のような実無限への言及を避けることで、連続体のモデルを構築する。
• 隣接性を通じて、直感的な連続性の概念と形式的なタイプ理論的構造との対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実無限や集合論的構成に依存せずに、どのようにして構成的に実数を定義できるか？
• RQ2 直感主義的連続体の直接的な形式的表現を可能にするために、タイプ理論に欠けている原始的概念は何であるか？
• RQ3 連続性の公理を用いずに、ブールの連続性定理を導出することは可能か？
• RQ4 隣接性の概念は、連続体のより直感的で構成的な基礎をどのように提供するか？
• RQ5 このアプローチは、古典的または直感主義的集合論的実数の定義と、どのような点で異なるか？

主な発見

• 隣接性の概念が、連続体の構成的基礎に不可欠なタイプ理論における欠落した原始的概念であると特定された。
• この論文は、古典的な実数の定義（例：コーシー列やデデキンド切断）を、原始的タイプ理論的構成に成功して置き換えた。
• 連続性の公理とは異なる原則を用いて、ブールの連続性定理を再導出した。これは直感主義的原則と整合する。
• 有理数の無限集合のような実無限への言及を避けることで、連続体を隣接関係に根ざした形で定義した。
• 直接的な幾何的・位相的直感に基づき、構成的かつ直感主義的に妥当な連続体の基礎が確立された。
• 論理的に厳密でありながら、ブールの元来の哲学的見解と整合する、連続性の新しい視点が提供された。