[論文レビュー] Continuum Limits of the 1D Discrete Time Quantum Walk

Michael Manighalam, Mark Kon|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1次元離散時間量子ウォーク（DTQW）の連続極限をとるための形式的枠組みを構築し、非自明な極限をもたらすのは特定のコイン操作に限ることを証明している。空間・時間の同時連続極限では質量なしディラック方程式が得られ、DTQWの連続時間極限は、適合するコインであれば任意のものに対して、標準的な連続時間量子ウォーク（CTQW）を回復することを示しており、離散的・連続的量子力学的ダイナミクスの間の明確な橋渡しを確立している。

ABSTRACT

The discrete time quantum walk (DTQW) is a universal quantum computational model. Significant relationships between discrete and corresponding continuous quantum systems have been studied since the work of Pauli and Feynman. This work continues the study of relationships between discrete quantum models and their ostensive continuum counterparts by developing a formal transition between discrete and continuous quantum systems through a formal framework for continuum limits of the DTQW. Under this framework, we prove two constructive theorems concerning which internal discrete transitions ("coins") admit nontrivial continuum limits. We additionally prove that the continuous space limit of the continuous time limit of the DTQW can only yield massless states which obey the Dirac equation. Finally, we demonstrate that the continuous time limit of the DTQW can be identified with the canonical continuous time quantum walk (CTQW) when the coin is allowed to transition through the continuous limit process.

研究の動機と目的

• 1次元離散時間量子ウォーク（DTQW）の連続極限をとるための一般的な形式的枠組みを確立すること。
• DTQWモデルにおいて非自明な連続極限を許す内部コイン操作を特定すること。
• DTQWの空間および時間の連続極限を逐次的・同時にとった場合に生じるダイナミクスを調査すること。
• DTQWと標準的な連続時間量子ウォーク（CTQW）との関係を、連続時間極限において明確にすること。
• 離散的量子ウォークダイナミクスが連続極限においてディラック方程式とどのように厳密につながるかを明らかにすること。

提案手法

• DTQWの時間発展演算子を $\Psi(x,t+\Delta t) = S C \Psi(x,t)$ として形式化し、$S$ をシフト演算子、$C$ をコイン操作とする。
• 時間発展演算を運動量空間で解析するための離散フーリエ変換を用い、分散関係を導出する。
• $\Delta t$ および $\Delta x$ の漸近展開を適用し、連続極限における偏微分方程式（PDE）を導出する。
• フーリエ空間における有効ハミルトニアンの固有値分解を用いて、極限におけるダイナミクスを同定する。
• 連続時間極限における時間発展演算を導入し、位相変換を介してCTQWと関係づける。
• 両方の極限 $\Delta t, \Delta x \to 0$ を同時にとることで、空間・時間の連続極限を導出し、ディラック型方程式が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DTQWにおけるどの内部コイン操作が非自明な連続極限を許すか？
• RQ2 空間と時間の両方を連続化した場合、DTQWからどのような力学的方程式が生じるか？
• RQ3 DTQWの連続時間極限は、任意のコインに対して標準的なCTQWと同一視できるか？
• RQ4 空間・時間の同時連続極限で得られるディラック型方程式の性質は何か？
• RQ5 DTQWの連続時間極限の解は、CTQWの解とどのように関係するか？

主な発見

• 非自明な連続極限を許すのは、特定の対称性およびパrameter制約を満たすコイン操作に限られる。
• DTQWの空間・時間の同時連続極限は、ステップサイズのスケーリングが一貫していれば、初期コインにかかわらず質量なしディラック方程式をもたらす。
• DTQWの連続時間極限の連続的空間極限は、質量なしディラック方程式をもたらし、逐次的極限の整合性を確認する。
• DTQWの連続時間極限は、連続時間への滑らかな遷移を許すコインであれば、任意のものに対して標準的なCTQWに正確に写像可能であり、直接的なダイナミカル等価性を確立する。
• 極限におけるダイナミクスは、$i\partial_t \Psi = (i\hat{A}\partial_x + \hat{B})\Psi$ の形のディラック型PDEに従う。ここで $\hat{A}$ および $\hat{B}$ はコインおよびシフト演算子から導出される。
• 極限ハミルトニアンの固有モードは、位相変換の下でCTQWの形に簡略化される時間発展演算を満たすことが示され、等価性が証明される。