[論文レビュー] Continuum Model for Nanoscale Multiphase Flows

Alexandre M. Tartakovsky|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、分子的力に類似した関数の積分を介して非局所的表面張力項を組み込んだ非局所連続体モデルを提案する。このモデルにより、曲率依存の表面張力と界面での圧力勾配を正確に捉えることが可能となり、大規模スケールではYoung-Laplace法則を回復するが、分子スケール（≤10 nm）ではミクロスケールの界面物理学を解明する。解析的解およびSPHシミュレーションによる検証により、キャピラリ波理論および曲率依存の表面張力の傾向と整合性があることが示された。

ABSTRACT

We propose a nonlocal model for surface tension. This model, in combination with the Landau-Lifshitz-Navier-Stokes equations, describes mesoscale features of the multiphase flow, including the static (pressure) tensor and curvature dependence of surface tension. The nonlocal model is obtained in the form of an integral of a molecular-force-like function added into the momentum conservation equation. We present an analytical steady-state solution for fluid pressure at the fluid-fluid interface and numerical Smoothed Particle Hydrodynamics solutions that reveal the mesoscopic features of the proposed model.

研究の動機と目的

• ナノスケールの界面物理学、特に曲率依存の表面張力や流体界面を貫る圧力勾配を捉える連続体モデルを開発すること。これは、古典的Young-Laplaceモデルでは解明できない。
• 古典的Young-Laplace法則の限界を是正すること。特に、分子スケール（≤10 nm）では曲率半径が小さくなると表面張力が減少するが、この現象は古典的モデルでは再現できない。
• 運動量保存方程式に分子的力に類似した積分項を導入することで非局所効果を組み込み、完全な分子動力学を用いずにミクロスケールの特徴を再現可能にする。
• 解析的解およびスムージング粒子法（SPH）シミュレーションを用いてモデルを検証すること。特に界面の揺らぎおよび静的応力テンソルの解析を対象とする。
• モデルが熱的に駆動されるキャピラリ波スペクトルおよびRayleigh不安定性の臨界閾値を正確に再現できることを示し、キャピラリ波理論と整合的であることを確認すること。

提案手法

• Landau-Lifshitz-Navier-Stokes（LLNS）方程式を修正し、局所的表面力の代わりに非局所的積分項を導入する：$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\int_{\Omega} s(\mathbf{x},\mathbf{y}) f_{\varepsilon}(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|) \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|} d\mathbf{y}$。ここで$f_{\varepsilon}$は、短距離で負値、長距離で正値を取る力形状関数である。
• 力の強さ$s(\mathbf{x},\mathbf{y})$は分子間相互作用に基づき、界面における分子間力の対称性の破れを正しく捉える。
• 流体-流体界面を貫る圧力プロファイルについて、定常状態の半解析的解を導出。非線形な曲率依存性および界面近傍での異方的静的応力テンソルの存在が明らかになった。
• スムージング粒子法（SPH）を用いて修正されたLLNS方程式を数値的に解き、確率的応力テンソル$\mathbf{s}_l = \gamma_l \boldsymbol{\xi}$を含める。この応力テンソルはフラクチュエーション・ディスシペーショントレードオフ定理を満たす。
• 表面張力$\sigma(R)$は、応力テンソルの差$T_N(r) - T_T(r)$を用いて$\sigma(R) = \int_0^\infty [T_N(r) - T_T(r)] dr$として計算され、曲率依存の傾向と直接比較可能となる。
• キャピラリ波スペクトルは、SPHシミュレーションから$\langle \hat{\eta}(\mathbf{q})^2 \rangle$を計算し、重力および無重力条件下でのキャピラリ波理論（CWT）の予測と比較することで解析された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的モデルが失敗するナノスケール界面において、非局所連続体モデルが曲率依存の表面張力を正確に再現できるか？
• RQ2 提案された非局所的表面張力モデルは、特に界面近傍において、静的応力テンソルおよび界面を貫る圧力プロファイルにどのように影響を与えるか？
• RQ3 モデルは、キャピラリ波スペクトルを含む熱的駆動の界面揺らぎを、キャピラリ波理論と整合的に捉えられるか？
• RQ4 重力下でRayleigh-Taylor不安定性に対して安定性を保ち、不安定化の臨界重力閾値を正しく再現できるか？
• RQ5 大曲率半径ではマクロスケールのYoung-Laplace法則を回復できるか？同時に、小スケールではナノスケールの物理を保持できるか？

主な発見

• モデルは、ドロイド半径$R$が小さくなるに従い表面張力$\sigma(R)$が減少することを予測し、$R < 2h$および$R \leq 10$ nmの範囲で実験的・分子動力学的観測と一致する。
• ドロイド半径$R = 4.0$の場合、正規化された表面張力$\sigma(R)/\sigma_0$は、マクロスケールの値$\sigma_0 = 2.0$から$R$の減少に伴い減少し、曲率依存性が明確に確認された。
• 半解析的解は、界面近傍で非対称な静的応力テンソル（非ゼロの$T_\tau$）を示し、界面から離れるに従い等方的になることが明らかになった。これはミクロスケールの物理と整合的である。
• SPHシミュレーションでは、キャピラリ波理論と極めて良好な一致が得られた：重力および無重力条件下で$|\mathbf{q}| \leq 2\pi/(5h)$の範囲で$\langle \hat{\eta}(\mathbf{q})^2 \rangle$が理論的予測と一致した。
• モデルは、重力$g$が閾値$\sigma_0 q_0^2 / (\rho_\beta - \rho_\alpha)$を超えた場合にRayleigh-Taylor不安定性の発生を正しく予測した。この閾値未満では安定な界面が観察され、超過すると不安定な成長が確認された。
• 非局所モデルは、大曲率半径ではYoung-Laplace法則を正確に回復し、ナノスケールとマクロスケールの挙動を橋渡しする能力を示した。