[論文レビュー] Continuum Schroedinger operators for sharply terminated graphene-like structures

Charles Fefferman, Michael I. Weinstein|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Topological Materials and Phenomena参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、強い結合領域における鋭く切られたグラフェン様構造に対して、連続的シュレーディンガー作用素とタイトバインディングモデルの間の厳密な数学的関係を確立する。スケーリングされたリゾルベント収束を証明し、連続極限における平坦バンド機構を通じて、ゾーン境界に局在するエッジ状態の存在を厳密に構成する。

ABSTRACT

We study the single electron model of a semi-infinite graphene sheet interfaced with the vacuum and terminated along a zigzag edge. The model is a Schroedinger operator acting on $L^2(\mathbb{R}^2)$: $H^λ_{ m edge}=-Δ+λ^2 V_\sharp$, with a potential $V_\sharp$ given by a sum of translates an atomic potential well, $V_0$, of depth $λ^2$, centered on a subset of the vertices of a discrete honeycomb structure with a zigzag edge. We give a complete analysis of the low-lying energy spectrum of $H^λ_{ m edge}$ in the strong binding regime ($λ$ large). In particular, we prove scaled resolvent convergence of $H^λ_{ m edge}$ acting on $L^2(\mathbb{R}^2)$, to the (appropriately conjugated) resolvent of a limiting discrete tight-binding Hamiltonian acting in $l^2(\mathbb{N}_0;\mathbb{C}^2)$. We also prove the existence of {\it edge states}: solutions of the eigenvalue problem for $H^λ_{ m edge}$ which are localized transverse to the edge and pseudo-periodic (propagating or plane-wave like) parallel to the edge. These edge states arise from a "flat-band" of eigenstates the tight-binding Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 鋭く切られた半無限のグラフェン様構造に、ジグザグ端を持つ場合のエッジ状態の出現を厳密に導出すること。
• 強い結合領域における連続的シュレーディンガー作用素のリゾルベントが、離散的タイトバインディングハミルトニアンに収束することを確立すること。
• 鋭く切られたヘキサゴナル格子の文脈において、低エネルギー準位スペクトル（離散的エッジ状態と連続スペクトルを含む）を分析すること。
• 特に、対称性と非自明なベリー位相によって保護されるトポロジカルエッジ状態の数学的基盤を提供すること。
• 連続量子力学と離散的タイトバインディングモデルの間のギャップを、ジグザグ境界におけるエッジ状態形成の文脈で埋めること。

提案手法

• ヘキサゴナル格子上の原子的ポテンシャル井戸の和として定義される $ V_{\sharp} $ を用いて、$ L^2(\mathbb{R}^2) $ 上にシュレーディンガー作用素 $ H^\lambda_{\rm edge} = -\Delta + \lambda^2 V_{\sharp} $ を定式化する。ここで、ジグザグ端を持つ。
• 強いつなぎ領域（$ \lambda \to \infty $）を適用し、リゾルベントの漸近的解析を通じて有効な力学を導出する。
• 共役リゾルベントフレームワークを用いて、連続的作用素を $ \ell^2(\mathbb{N}_0; \mathbb{C}^2) $ 上の離散的タイトバインディングハミルトニアンに関連付ける。
• ワニエ関数の指数的減衰推定とポテンシャル行列要素を用いて、非局所的結合を制御する。
• フロケ＝ブロッホ理論を用いてスペクトル構造を分析し、タイトバインディングモデルの平坦バンド機構を通じてエッジ状態を同定する。
• 対称性および局在性の議論を用いて、エッジに沿って擬似周期的で、横方向に局在するエッジ状態の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 鋭く切られたグラフェン様構造の連続的シュレーディンガー作用素が、強い結合領域においてどのように離散的タイトバインディングモデルに収束するか。
• RQ2 ジグザグ端における連続的シュレーディンガー作用素のスペクトルにエッジ状態が存在する条件は何か。
• RQ3 連続的モデルのスペクトル構造は、タイトバインディングハミルトニアンの平坦バンド固有状態とどのように関係するか。
• RQ4 ベリー＝ザーク位相は、異なる端の向きにおけるエッジ状態の存在にどのように寄与するか。
• RQ5 エッジ状態は連続極限において厳密に構成可能であり、その局在性および伝搬特性はどのように振る舞うか。

主な発見

• 連続的シュレーディンガー作用素 $ H^\lambda_{\rm edge} $ のリゾルベントは、$ \lambda \to \infty $ の際にスケーリングされた意味で、$ \ell^2(\mathbb{N}_0; \mathbb{C}^2) $ 上に作用する離散的タイトバインディングハミルトニアンのリゾルベントに収束する。
• ジグザグ端に垂直に局在し、沿って擬似周期的なエッジ状態は、準運動量 $ k_\parallel \in [0, 2\pi) $ の部分区間において $ H^\lambda_{\rm edge} $ のスペクトルに存在する。
• これらのエッジ状態はタイトバインディングモデルの平坦バンドに起因し、強い結合極限においてもその存在が安定である。
• 行列要素 $ \mathscr{I}(\sigma, \mathbf{r}, \tilde{\sigma}, \tilde{\mathbf{r}}) $ は $ \lambda $ とともに指数的に減少し、エッジからの距離およびバンド構造に依存するバウンドを有する。
• 解析により、エッジ状態はアームチェア端には存在しないことが確認され、これはジグザグ端でのみ非自明なベリー＝ザーク位相が有効であることに一致する。
• 本稿は、強い結合極限における連続的シュレーディンガー方程式とタイトバインディング近似の間の厳密な数学的リンクを確立し、後者のエッジ状態物理学への妥当性を裏付ける。