[論文レビュー] Continuum Space Limit of the Genealogies of Interacting Fleming-Viot Processes on $\Z$

Andreas Greven, Rongfeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℤ 上の相互作用的 Fleming-Viot プロセスにおける系統樹の連続空間極限を、連続空間ステッピング ストーン モデル on ℝ の系統樹に収束する測度値系統樹過程の構成により確立する。ブラウン運動のウェブを用いた図的構成と、新規のマルティンググ・プロブレム定式化により、拡散スケーリング下での収束を証明し、特異な生成作用素が非典型個体に作用することを特定し、マーク付き距離測度空間理論を有界有限測度へ拡張する。

ABSTRACT

We study the evolution of genealogies of a population of individuals, whose type frequencies result in an interacting Fleming-Viot process on $\Z$. We construct and analyze the genealogical structure of the population in this genealogy-valued Fleming-Viot process as a marked metric measure space, with each individual carrying its spatial location as a mark. We then show that its time evolution converges to that of the genealogy of a continuum-sites stepping stone model on $\R$, if space and time are scaled diffusively. We construct the genealogies of the continuum-sites stepping stone model as functionals of the Brownian web, and furthermore, we show that its evolution solves a martingale problem. The generator for the continuum-sites stepping stone model has a singular feature: at each time, the resampling of genealogies only affects a set of individuals of measure $0$. Along the way, we prove some negative correlation inequalities for coalescing Brownian motions, as well as extend the theory of marked metric measure spaces (developed recently by Depperschmidt, Greven and Pfaffelhuber [DGP12]) from the case of probability measures to measures that are finite on bounded sets.

研究の動機と目的

• 確率測度から有界有限測度へのマーク付き距離測度空間理論の拡張により、無限大の空間的集団における系統樹の研究を可能にする。
• マーク付き超距離測度空間上での適切に定式化されたマルティンググ・プロブレムを用いて、ℤ 上の相互作用的 Fleming-Viot プロセスにおける系統樹の進化を特徴付ける。
• 連続空間ステッピング ストーン モデル on ℝ の系統樹をブラウン運動のウェブの関数として構成し、その動的挙動が特異な生成作用素を持つマルティンググ・プロブレムを満たすことを示す。
• 拡散スケーリング下で、スケーリングされた相互作用的 Fleming-Viot 系統樹過程が、連続空間ステッピング ストーン モデルの系統樹過程に収束することを証明する。
• 共鳴するブラウン運動における負の相関不等式を確立し、無限のサンプリング測度への双対性フレームワークを拡張する。

提案手法

• 著者らは、有界集合上で有限な測度を含むようにマーク付き距離測度空間理論を拡張し、無限の全質量を許容しながらも系統樹過程に適した構造を維持する。
• 連続空間ステッピング ストーン モデルの系統樹過程に対するマルティンググ・プロブレムを定義し、特異性のため状態空間の正則部分集合でのみ作用する生成作用素を用いる。
• 共鳴ブラウン運動が空間と時間における先祖の系統を表すことで、双対的ブラウン運動のウェブを用いた系統樹過程の図的構成を達成する。
• 空間的共鳴過程との双対性と、系統的構造を持たない測度値過程の弱収束を用いて、スケーリングされた相互作用的 Fleming-Viot 系統樹の収束を証明する。
• 主な技術的道具として、交差しないブラウン運動の Karlin-McGregor 公式と、共鳴イベントの極限密度を抽出するためのテイラー展開を用いる。
• 特異な生成作用素は、非典型位置にいる個体に作用することを示し、極限カーネルは $ K^{ m c}_{t}(ar{ riangle}) = \frac{\triangle e^{-\frac{\triangle^{2}}{4t}}}{2\sqrt{\pi}t^{3/2}} $ として導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限だが有界集合上で有限な測度を扱えるようにマーク付き距離測度空間理論をどのように拡張できるか。これは、全人口が無限大の空間的集団モデルに関連する。
• RQ2 連続空間ステッピング ストーン モデル on ℝ の系統樹過程に対する適切なマルティンググ・プロブレム定式化は何か。特に、生成作用素が非典型個体に特異に作用する場合にどうなるか。
• RQ3 ℤ 上の相互作用的 Fleming-Viot プロセスの系統樹は、どのように拡散スケーリング下で連続空間ステッピング ストーン モデルの系統樹に収束するか。
• RQ4 ブラウン運動のウェブは、連続極限における空間的集団モデルの系統的ダイナミクスを構築し、特徴付ける際に果たす役割は何か。
• RQ5 共鳴するブラウン運動に対して成立する負の相関不等式は何か。また、それらは極限系統樹過程の収束性と一意性をどのように支援するか。

主な発見

• ℤ 上の相互作用的 Fleming-Viot モデルの系統樹過程は、空間時間の拡散スケーリング下で、ℝ 上の連続空間ステッピング ストーン モデルの系統樹過程に分布収束する。
• 極限系統樹過程はブラウン運動のウェブの関数として構成され、空間的に分布した非典型個体によって駆動される共鳴イベントが特徴である。
• 極限過程の生成作用素は、状態空間の正則部分集合でのみ作用し、リサンプリングが測度ゼロの集合に影響を与えるという特異性を反映している。
• 共鳴カーネルの明確な表現が得られ、$ K^{ m c}_{t}(ar{ riangle}) = \frac{\triangle e^{-\frac{\triangle^{2}}{4t}}}{2\sqrt{\pi}t^{3/2}} $ である。これは、距離 $\triangle$ 離れた系統間の共鳴の速度を記述する。
• 3本の共鳴ブラウン運動に対して負の相関不等式が証明され、有限次元分布の収束を制御するために不可欠である。
• マーク付き距離測度空間理論は、有界有限測度を含むように拡張され、無限大の地理的空間における系統的ダイナミクスの分析を可能にする。