[論文レビュー] Contour Manifolds and Optimal Transport

Bernhard Schmitzer, Christoph Schnörr|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Wasserstein空間における最適輸送から導かれる形状測度とパラメータ化された輪郭による形状表現との間で、厳密な数学的同等性を確立する。形状測度の集合が、閉じた$S^1$-型の輪郭の多様体と微分同相であることを示し、Kantorovich形式による凸最適化を用いたグローバルに最適なセグメンテーションを可能にする。

ABSTRACT

Describing shapes by suitable measures in object segmentation, as proposed in [24], allows to combine the advantages of the representations as parametrized contours and indicator functions. The pseudo-Riemannian structure of optimal transport can be used to model shapes in ways similar as with contours, while the Kantorovich functional enables the application of convex optimization methods for global optimality of the segmentation functional. In this paper we provide a mathematical study of the shape measure representation and its relation to the contour description. In particular we show that the pseudo-Riemannian structure of optimal transport, when restricted to the set of shape measures, yields a manifold which is diffeomorphic to the manifold of closed contours. A discussion of the metric induced by optimal transport and the corresponding geodesic equation is given.

研究の動機と目的

• 変分的画像セグメンテーションにおけるホログラムベースとインジケータ関数ベースの形状表現のトレードオフを解消すること。
• 微分幾何的枠組みの中で、パラメータ化された輪郭と形状測度との間の正式な同等性を確立すること。
• 最適輸送によって誘導される形状測度多様体上のリーマン計量を定義すること。
• 形状測度多様体上の測地線方程式を導出し、意味のある形状補間を可能にする。

提案手法

• 著者らは、コン pact 領域のスケーリングされたインジケータ関数の密度を持つ確率測度として形状測度を定義する。
• ${\mathbb{R}^2}$ 内の $S^1$-型の輪郭の多様体と形状測度の多様体との間で微分同相写像を構築し、正則性と微分構造を保存する。
• 形状測度の部分空間に制限された Wasserstein 空間構造から導かれる擬リーマン計量を、形状測度の空間に導入する。
• 最適輸送フレームワークを用いて測地線方程式を導出し、経路に沿って定数密度を維持するための非局所的射影を施す。
• 形状の平行移動と一様スケーリングが、形状測度多様体上で測地線であることを確認し、直感的な形状運動と整合性を確認する。
• 数値実験により、補間中に形状の整合性を保つ非線形な粒子軌道が得られ、標準的測度空間における線形補間とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化された輪郭の多様体と形状測度の空間との間に、明確な数学的対応関係があるか？
• RQ2 最適輸送の擬リーマン構造を形状測度に制限することで、well-defined なリーマン多様体が得られるか？
• RQ3 形状測度上の測地線方程式は、標準的最適輸送の測地線とどのように異なるのか？幾何的解釈は何か？
• RQ4 平行移動や一様スケーリングといった標準的な形状変換が、形状測度多様体上で測地線であるか？
• RQ5 測地線方程式における非局所的射影の役割は何か？なぜ形状構造を維持するために必要なのか？

主な発見

• 形状測度の集合は、${\mathbb{R}^2}$ 内の閉じた $S^1$-型の輪郭の多様体と微分同相である多様体をなしており、両表現の厳密な同等性が確立される。
• 形状測度多様体上のリーマン計量は、Wasserstein空間における最適輸送構造から誘導され、これまでに研究されていなかった輪郭多様体上の新しい計量をもたらす。
• 形状測度上の測地線方程式には、形状測度の接空間への非局所的射影が含まれており、中間の測度が定数密度を持つ有効な形状表現のまま保たれることを保証する。
• 平行移動と一様スケーリングは、形状測度多様体上で測地線であることが確認され、直感的な形状運動と幾何学的に整合することが裏付けられる。
• 数値的解法により、測地線経路における粒子軌道が非線形であることが示され、形状の整合性が保たれるが、標準的測度空間における線形補間とは対照的である。
• 本手法により、Kantorovich形式における凸最適化を用いたグローバルに最適なセグメンテーションが可能となり、ホログラムベース手法で一般的に見られる局所最適解の問題を回避できる。