[論文レビュー] Contractible $3$-manifold and Positive scalar curvature (I)

Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ホワイトヘッド多様体およびすべての可縮約1の3次元多様体が、非負のスカラー曲率をもつ完全なリーマン計量をもたないことを証明する。性質Pと呼ばれる位相的性質——埋め込まれた曲面がネストされたドーナツ型立体とどのように交わるかを制限する——を用いて、最小曲面論および計量変形を組み合わせ、このような多様体は有限面積の安定的最小曲面をもてず、したがって非負のスカラー曲率をもつ計量をもてないことを示す。

ABSTRACT

In this work we prove that the Whitehead manifold has no complete metric of positive scalar curvature. This result can be generalized to the genus one case. Precisely, we show that no contractible genus one $3$-manifold admits a complete metric of positive scalar curvature.

研究の動機と目的

• R³以外の可縮3次元多様体が、正または非負のスカラー曲率をもつ完全な計量をもてるかどうかを特定すること。
• 非単純接続性（約1）の可縮3次元多様体において、そのような計量の存在を妨げる位相的および幾何的障害を調査すること。
• 埋め込まれた曲面がネストされたドーナツ型立体と交わる仕組みを特徴づける位相的不変量——性質P——を確立すること。
• 最小曲面論および計量変形技術を用いて、これらの多様体に非負のスカラー曲率をもつ完全な計量が存在しないことを示すこと。
• ホワイトヘッド多様体に得られた結果を、より広い可縮約1の3次元多様体のクラスへ一般化すること。

提案手法

• ホワイトヘッド多様体を、S³におけるホワイトヘッド集合の補集合として定義し、非可換なドーナツ型立体の無限ネスト列によって構成する。
• 性質Pを導入：任意の適切に埋め込まれた平面Σと、∂Nₖ ∩ Σ 上の閉曲線γに対して、γが∂Nₖで可縮まれる、またはγが境界とする円板が、l < k に対して少なくとも2ᵏ⁻ˡ個のNₗ ∩ Int(Nₖ) の成分と交わる。
• カジダン（1982）の計量変形結果を用いて、正のスカラー曲率から非負のスカラー曲率への問題の簡略化を行う。
• 最小ラミネーションの葉Lₜの近傍における曲面の列Σₖʲを、最小曲面の収束定理を用いて構成する。
• シュレン（1983）の曲率評価と滑らか収束定理（定理5.4）を適用し、Σₖʲ の部分列から極限曲面Σを抽出する。
• 連結曲面がLₜの中心領域と外側のアニュラス領域の両方と交わる場合、必ず切断されてしまうことから矛盾を導く。これはΣₖʲの連結性に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R³に同相でないが可縮な非コンパクト3次元多様体であるホワイトヘッド多様体が、正のスカラー曲率をもつ完全なリーマン計量をもてるか。
• RQ2 ネストされたドーナツ型立体の構成における絡み方を変化させたホワイトヘッド多様体の一般化である、可縮約1の3次元多様体すべてが、非負のスカラー曲率をもつ完全な計量をもてるか。
• RQ3 これらの多様体に、有限面積の安定的最小曲面が存在しないという、非負のスカラー曲率の必要条件を妨げる位相的性質は何か。
• RQ4 ネストされたドーナツ型立体構造と埋め込まれた曲面の挙動との間の相互作用が、多様体の幾何にどのように制限を加えるか。
• RQ5 計量変形技術を用いて、非コンパクト3次元多様体において正のスカラー曲率から非負のスカラー曲率への結果を拡張できるか。

主な発見

• ホワイトヘッド多様体は、正のスカラー曲率をもつ任意の完全なリーマン計量をもたない。
• 可縮約1の3次元多様体すべては、正のスカラー曲率の場合の計量変形により非負のスカラー曲率をもつ完全な計量をもたない。
• すべての可縮約1の3次元多様体は、埋め込まれた曲面とネストされたドーナツ型立体との交わりに関する性質Pを満たす。
• このような多様体における最小ラミネーションの葉は、すべて非コンパクトでなければならない。コンパクトな葉は、曲面の連結性に矛盾を引き起こす。
• 極限の葉に収束する曲面列の各成分の面積は、境界球面の面積によって一様に有界であり、これにより曲率の制御と滑らかな収束が得られる。
• 矛盾は、連結曲面が極限の葉の内側近傍と外側のアニュラス領域の両方と交わる場合、必ず切断されてしまうという事実に起因する。これは滑らかな収束の議論に反する。