[論文レビュー] Contractible Extremal Rays on \overline{M}_{0,n}

Seán Keel, James McKernan|ArXiv.org|Jul 7, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、$\overline{M}_{0,n}$ の曲線の錐におけるすべての収縮可能 extremal レイの生成が、特定の条件下で『バケーション曲線』— つまり、退化した配置を持つ安定的 $n$-点付き有理曲線に対応する有理曲線—によって行われることを証明する。$n \leq 11$ の場合、$\widetilde{M}_{0,n}$（対称群による商）の曲線の錐が有理的多面体的であり、バケーション曲線によって生成されることを示し、Fulton の予想における重要なケースを確認する。

ABSTRACT

We consider the cones of curves and divisors on the moduli space of stable pointed rational curves,M_n, and on the quotient by the symmetric group, Q_n, which is a moduli space of pairs. We find generators for contractible extremal rays of the cone of curves NE_1(M_n), and for the cone of divisors NE^1(Q_n). This second cone turns out to be simplicial. We give complete descriptions of NE_1(M_n) and NE_1(Q_n) for small n (< 8 in the first case, < 11 in the second). We also have results of independent interest on when curves in a divisor generate the cone of curves of the ambient variety.

研究の動機と目的

• 曲線の錐 $\overline{M}_{0,n}$ におけるすべての extremal レイが、Fulton の予想で提示されたようにバケーション曲線によって生成されるかどうかを調査すること。
• 対称群による商 $\widetilde{M}_{0,n}$ の曲線の錐が有理的多面体的であり、バケーション曲線によって生成されるかどうかを特定すること。
• $n \leq 11$ の場合、$\widetilde{M}_{0,n}$ の曲線の錐のすべての面が収縮可能であることを検証すること。ただし、反 canonical 級が有効でないにもかかわらず。
• $\overline{M}_{0,n}$ 上の nef な除けるが $\widetilde{M}_{0,n}$ から引き戻されたものであるような除けるが、basepoint free 定理および log Mori fiber space 収縮を用いて、有理的多面体的錐をもたらす条件を確立すること。

提案手法

• Mori-Kawamata-Shokurov の錐および収縮定理を用いて、負 canonical 級に関連する extremal レイを分析する。
• $\overline{M}_{0,n}$ が $\mathbb{P}^{n-3}$ の繰り返しの blow-up として構成されることを用いるが、証明はこの記述に依存しない。
• バケーション曲線における交差理論を用いて、境界除ける $B_i$ との交差数を計算し、公式 $C_r \cdot B_i = r$（$i = r-1$ のとき）、$-(r-2)$（$i = r$ のとき）、それ以外は 0 を用いる。
• 関数 $f(a,b,c,d) = 2 - \#\{a,b,c,d \mid \text{equal to } 1\}$ を導入し、$P_n$ という条件を定義する。この条件は、nef 級に対して $\Delta_E$ が純粋境界であるかどうかを制御する。
• basepoint free 定理を適用し、$K_{\overline{M}_{0,n}} + \Delta$ が klt であり、かつ正の倍数の nef 級 $E$ と数値的に同値である場合、$E$ に支えられる extremal 錐が有理的多面体的かつ収縮可能であることを示す。
• $\overline{M}_{0,n}$ の $S_n$ による対称性を用いて $\widetilde{M}_{0,n}$ を定義し、商写像によるバケーションサイクルの像を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線の錐 $\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,n})$ のすべての収縮可能 extremal レイは、バケーション曲線によって張られるか？
• RQ2 $n \leq 11$ の場合、$\widetilde{M}_{0,n}$ の曲線の錐はバケーション曲線によって生成される有理的多面体的構造を有するか？
• RQ3 $\overline{M}_{0,n}$ 上の nef な除けるが $\widetilde{M}_{0,n}$ から引き戻されたものである場合、その関連 extremal 錐が有理的多面体的かつ収縮可能である条件は何か？
• RQ4 $P_n$ 条件—境界除けるの係数に関する不等式系—は、関連する $\Delta_E$ が純粋境界であることを特徴づけるか？
• RQ5 Fulton の予想は $\overline{M}_{0,n}$ に対して正しいか？すなわち、すべての有効的曲線はバケーション曲線の和に線形同値か？

主な発見

• $n \leq 7$ の場合、$\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,n})$ のすべての収縮可能 extremal レイはバケーション曲線によって張られ、Fulton の予想の特殊ケースを確認する。
• $n \leq 11$ の場合、$\overline{NE}_1(\widetilde{M}_{0,n})$ は有理的多面体的であり、バケーション曲線の像によって生成され、$\widetilde{M}_{0,n}$ に非自明なファイブレーションが存在しないことを示唆する。
• $8 \leq n \leq 11$ の場合、$P_n$ 条件が成立し、$\widetilde{M}_{0,n}$ から引き戻された非自明な nef 級に対して $\Delta_E$ が純粋境界であることが保証され、extremal 錐の有理的多面体的構造が保証される。
• $n \leq 11$ の場合、$\widetilde{M}_{0,n}$ は log Fano 種ではないが、曲線の錐のすべての面が収縮可能であり、このような性質を持つ例としては稀である。
• 証明により、$K_{\overline{M}_{0,n}} + \Delta$ が klt であり、正の倍数の $E$ と数値的に同値である場合、$\overline{NE}_1(\overline{M}_{0,n})$ の $E$ に支えられる extremal 錐が有理的多面体的かつ収縮可能であることが示される。
• 本稿は、$f(a,b,c,d)$ から導かれる不等式系と $r_i$ の係数の対称性を用いて、$n = 9$ に対して $P_n$ が成立することを検証し、同様の検証を $n = 8, 10, 11$ に対しても行っている。