[論文レビュー] Contractible Lie groups over local fields

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正の特性を持つ局所体上の可縮リーダイ正則群を調査し、$C^k$-収縮的自己同型（$k \geq 2$）を備えた群が、有限指数の torsion 群であり、かつ冪零群であることを示している。群は $\alpha$-安定部分群の中心的系列を備え、収縮的自己同型とリーダイ代数上の $\mathbb{N}$-gradation の関係を確立し、実数および $p$-進の場合の結果を正の特性の設定に拡張している。

ABSTRACT

Let G be a Lie group over a local field of positive characteristic which admits a contractive automorphism f (i.e., the forward iterates f^n(x) of each group element x converge to the neutral element 1). We show that then G is a torsion group of finite exponent and nilpotent. We also obtain results concerning the interplay between contractive automorphisms of Lie groups over local fields, contractive automorphisms of their Lie algebras, and positive gradations thereon. Some of the results even extend to Lie groups over arbitrary complete ultrametric fields.

研究の動機と目的

• 正の特性を持つ局所体上のリーダイ群で、収縮的自己同型をもつものについて分類すること。
• 特にその冪零性と torsion 構造について、その構造的性質を特定すること。
• 実数および $p$-進リーダイ代数から正の特性の設定への正のgradation と収縮的自己同型の理論を拡張すること。
• 正の特性におけるリーダイ群の自己同型とその誘導されるリーダイ代数自己同型の関係を調査すること。
• 正の特性における解析的リーダイ収縮群の存在と分類に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 完全な非アーチメティック体上の $C^k$-収縮的自己同型を備えたリーダイ群の $\alpha$-安定な完全不連結部分群の構造理論を用いて分析する。
• 文献[14]における $p$-進的安定多様体論を応用し、完備な非アーチメティック体上のリーダイ群における $C^k$-収縮的自己同型の挙動を分析する。
• リーダイ群 $G$ 上の収縮的自己同型 $\alpha$ の線形化 $L(\alpha)$ が、リーダイ代数 $L(G)$ 上の収縮的自己同型であり、すべての固有値の絶対値が 1 より小さいことを示す。
• 局所体上のリーダイ代数が $\mathbb{N}$-gradation をもつことと、収縮的自己同型をもつことが同値であることの証明により、代数的構造と力学的性質を結びつける。
• 特定のリーダイ群と $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$ の制限積との明示的同型を構成し、$\mathbb{F}_p((X))$ 上で $n$ 次元の単純な収縮群が存在することを示す。
• 非アーベル的拡大を用いて、リーダイ括弧積が自明なリーダイ代数を持つが、群構造が異なる例を提示し、正の特性においてリーダイ代数が群構造を決定しないことを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性を持つ局所体上のリーダイ群が収縮的自己同型をもつとき、どのような条件下で必ず冪零群となるか？
• RQ2 収縮的自己同型をもつリーダイ群の構造は、$\alpha$-安定な閉部分群の中心的系列によって完全に記述可能か？
• RQ3 正の特性の体上のリーダイ群の収縮的自己同型は、群構造をどの程度決定するか。また、リーダイ代数自己同型とはどのように関係するか？
• RQ4 完全な非アーチメティック体上の正の特性の単純なリーダイ収縮群は、すべて $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$ に同型であるか？
• RQ5 正の特性におけるリーダイ代数自己同型は、常に解析的リーダイ群の収縮的自己同型に引き伸ばせるか？

主な発見

• 正の特性の局所体上の $C^1$-リーダイ群が $C^1$-自己同型をもつならば、有限指数の torsion 群であり、可解群である。
• このような群は、$\alpha$-安定で閉じた部分群の列挙系列をもち、各商は $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$ に同型で、右シフト作用をもつ。
• 完備な非アーチメティック体上の $C^k$-リーダイ群（$k \geq 2$）は冪零群であり、$\alpha$-安定な $C^k$-リーダイ部分群の中心的系列をもつ。
• 局所体上のリーダイ代数が収縮的自己同型をもつことと、$\mathbb{N}$-gradation をもつことは同値である。
• $\mathbb{F}_p((X))$ 上に、アーベルなリーダイ代数と収縮的自己同型をもつ非アーベル的 $C^\omega$-リーダイ群が存在し、群構造がリーダイ代数によって決定されないことを示している。
• 任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して、$\mathbb{F}_p((X))$ 上に $n$ 次元の単純なリーダイ収縮群が存在し、その群は $C_p^{(-\mathbb{N})} \times C_p^{\mathbb{N}_0}$ に同型である。