[論文レビュー] Contracting the boundary of a Riemannian 2-disc

Yevgeny Liokumovich, Alexander Nabutovsky+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、面積と直径をパラメータとして用い、リーマン多様体の2次元円板の境界を、長さが制御された曲線によって収縮するためのほぼ最良の上界を確立している。境界は、長さが $|\partial D| + 200d\max\{1,\ln(\sqrt{A}/d)\}$ 以下のループを用いて収縮可能であり、これはフランケルとカッツが提起した長年の未解決問題を解決し、細長い2次元球面上の測地線長に対するタイトな推定値を提供する。

ABSTRACT

Let $D$ be a Riemannian 2-disc of area $A$, diameter $d$ and length of the boundary $L$. We prove that it is possible to contract the boundary of $D$ through curves of length $\leq L + 200d\max\{1,\ln {\sqrt{A}\over d} \}$. This answers a twenty-year old question of S. Frankel and M. Katz, a version of which was asked earlier by M.Gromov. We also prove that a Riemannian $2$-sphere $M$ of diameter $d$ and area $A$ can be swept out by loops based at any prescribed point $p\in M$ of length $\leq 200 d\max\{1,\ln{\sqrt{A}\over d} \}$. This estimate is optimal up to a constant factor. In addition, we provide much better (and nearly optimal) estimates for these problems in the case, when $A<

研究の動機と目的

• S. フランケルとM. カッツが提起した、リーマン多様体の2次元円板の境界を、面積、直径、境界長を用いて上界が存在するかという問題を解決すること。
• 従来の注釈半径に依存する結果よりも、2次元円板の境界を収縮するホモトピーにおける曲線の長さについて、ほぼ最良の上界を確立すること。
• これらの結果をリーマン多様体の2次元球面へと拡張し、基点からのダイアステールおよびその関連するループによるスイープアウトに関する境界を提供すること。
• これらの境界を用いて、細長い2次元球面上の固定された2点を結ぶ複数の測地線の長さを推定し、既存の文献における推定値を改善すること。

提案手法

• ホモトピー過剰量 $exc(D)$ を、$\partial D$ が任意の境界点に、長さ $|\partial D| + x$ のループを用いて収縮可能となるような $x$ の下界として定義する。
• フランケルとカッツの例の修正を用いて、$exc(d,A)$ の下界を確立し、$d\ln(\sqrt{A}/d)$ のように成長することを示す。
• チャーマーズとロトマンによるスイープアウトと曲線短縮に関する最近の結果を応用し、曲線長が制御された明示的なホモトピーを構成する。
• 曲線短縮技術、トポロジカルスイープアウト、およびループ空間におけるホモロジー類の幅に関する推定値を組み合わせて、上界を導出する。
• 主な収縮境界を用いて、2次元球面上の固定された2点間を結ぶ $k$ 個の異なる測地線の長さを推定し、幾何解析における既知の結果を活用する。
• 直径と面積を用いて、2次元球面の基点ダイアステール $Bdias(M)$ のほぼ最良の境界を確立し、$\sqrt{A}/d \to \infty$ のとき漸近的に鋭い境界となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体の2次元円板の境界は、その面積、直径、境界長の関数として、長さが制御された曲線によって収縮可能か？
• RQ2 ホモトピー過剰量 $exc(d,A)$ に対する下界 $\Omega(d\ln(\sqrt{A}/d))$ は、定数倍の意味で最適か？
• RQ3 面積と直径が与えられたとき、2次元円板の境界を収縮するホモトピーにおける曲線の長さの最良の上界は何か？
• RQ4 これらの境界は、固定された2点を結ぶ複数の測地線の長さに関する推定値にどのように翻訳されるか？
• RQ5 2次元球面の基点ダイアステール $Bdias(M)$ は、直径と面積の関数として上界で抑えられるか？また、その境界は鋭いか？

主な発見

• ホモトピー過剰量 $exc(d,A)$ は、$exc(d,A) \leq 200d\max\{1,\ln(\sqrt{A}/d)\}$ を満たし、定数倍の意味で最適である。
• ${\sqrt{A}}/d \to \infty$ のとき、$exc(d,A) \geq 0.788d\ln(\sqrt{A}/d)$ というほぼ最良の下界が確立され、漸近的成長率が確認された。
• 任意のリーマン多様体の2次元円板に対して、境界が長さ $|\partial D| + 159d + 40d\max\{0,\ln(\sqrt{A}/d)\}$ 以下のループを用いて収縮可能なホモトピーが存在する。
• 直径 $d$ と面積 $A$ のリーマン多様体の2次元球面 $M$ に対して、基点ダイアステールは $Bdias(M) \leq 159d + 40d\max\{0,\ln(\sqrt{A}/d)\}$ を満たし、${\sqrt{A}}/d \to \infty$ のとき漸近的に鋭い境界となる。
• 2次元球面上の任意の2点 $x,y$ に対して、長さ $\leq 4(k-1)d + 1328(k-1)\sqrt{A} + \text{dist}(x,y)$ 以下の $k$ 個の異なる測地線が存在する。これは細長い領域における既存の境界を改善する。
• 任意の点に基点を持つ非自明な測地線ループの長さは、$2d + 664\sqrt{A}$ 以下であり、${\sqrt{A}}/d \to 0$ のときほぼ最適である。