[論文レビュー] Contraction and incremental stability of switched Carathéodory systems using multiple norms

Wenlian Lu, Mario di Bernardo|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2015

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、異なるベクトルノルムによって誘導される複数の行列ノルムを用いて、スイッチングCarathéodory系における増分的指数的漸近的安定性（δ-EAS）を分析するための新規フレームワークを導入する。ノルム間の取引係数を活用し、不安定なモードが全体のシステム安定性と併存することを許容する十分条件を導出し、個々のモードが非収縮的であっても収縮および同期が可能であることを示した。線形スイッチング系およびネットワーク同期の例を通じて、定量的な収束境界が得られた。

ABSTRACT

In this paper, incremental exponential asymptotic stability of a class of switched Carathéodory nonlinear systems is studied based on the novel concept of measure of switched matrices via multiple norms and the transaction coefficients between these norms. This model is rather general and includes the case of staircase switching signals as a special case. Sufficient conditions are derived for incremental stability allowing for the system to be incrementally exponentially asymptotically stable even if some of its modes are unstable in some time periods. Numerical examples on switched linear systems switching periodically and on the synchronization of switched networks of nonlinear systems are used to illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 単一の共通メトリクスに依存するのではなく、複数のノルムを用いることで、スイッチングCarathéodory系への収縮理論の拡張を図ること。
• すべてのシステムモードに同一の行列ノルムを用いる従来の手法の制限を解消すること。
• 一部のシステムモードが時間間隔にわたり不安定である場合のδ-EASの十分条件を導出すること。
• ノルム別に特化した行列ノルムを用いることで、各モードごとに異なるリャプノフ関数の使用を可能にすること。
• 本手法の有効性を、スイッチングネットワークおよび周期的スイッチング系における同期に応用して示すこと。

提案手法

• 各システムモードが異なるベクトルノルムに対応する、複数のノルムに基づく新しい行列ノルムの概念を導入する。
• 異なる行列ノルム間の関係を定量化するため、ノルム間の取引係数を定義する。
• 時間平均化された行列ノルムおよびスイッチング時間・スイッチング回数の項に基づき、δ-EASの十分条件を導出する。
• 変動方程式とリャプノフ型解析を用いて、同期多様体の漸近的安定性を証明する。
• スイッチング線形系および周期的スイッチング信号を用いたチュアの回路のネットワークに、このフレームワークを適用する。
• 重み付き1ノルムとユークリッドノルムを用いて、混合ノルムリャプノフ関数を構築し、収束速度の境界を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 個々のモードが特定の時間間隔にわたり非収縮的であっても、スイッチングCarathéodory系において増分的安定性を保証できるか？
• RQ2 それぞれが異なるノルムによって誘導される複数の行列ノルムを、どのように組み合わせて全体のシステム収縮を評価できるか？
• RQ3 複数のノルムを各モードに割り当てた場合、スイッチング系がどのようにして増分的指数的漸近的安定性を保つのか、どのような条件が必要か？
• RQ4 スイッチング周波数およびスイッチング期間は、複数ノルム解析下での全体システムの安定性にどのように影響するか？
• RQ5 このフレームワークは、スイッチングトポロジを有する非線形系のネットワークにおける同期を達成するために応用可能か？

主な発見

• 時間平均化された行列ノルム条件（27）が成立する限り、一部のモードが非収縮的であっても、システムはδ-EASを達成する。
• チュアの回路ネットワークの例では、スイッチング周期T > 13.08のとき同期が保証され、シミュレーションではT = 14が使用された。
• 本手法により、各モードごとに異なるノルムを使用可能となり、単一ノルム手法と比較してより柔軟かつ保守的でない安定性解析が可能になる。
• 数値結果により、10ノードのネットワークにおいてすべてのノードが提案条件下で同期することが確認され、図4に示すように誤差が時間経過とともに減少した。
• 導出された条件（27）は、変動方程式のノルムの減衰を確認することで、同期多様体の漸近的安定性を保証する。