[論文レビュー] Contraction par Frobenius de G-modules

M. Gros, Masaharu Kaneda|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正の特性をもつ体上の単連結な半単純代数群 $G$ に対して、分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ 上の $G$-不変なフロベニウス自己準同型の分解を導入する。核のフロベニウスの最大トーラス上で不変測度 $\mu_0$ を構成し、分解準同型 $\phi$ を定義することにより、$p$-次の重み空間 $M_{p\lambda}$ に自然な $G$-加群構造を定める。これにより、フラッグ多様体 $G/B$ やシューベルト多様体におけるフロベニウス分解の幾何的に自然な再定式化が可能となる。

ABSTRACT

Let G be a simply connected semisimple algebraic group over an algebraically closed field k of positive characteristic. We will untwist the structure of G-modules by a newly found splitting of the Frobenius endomorphism on the algebra of distributions of G, which, for example, explains the subsumed G-equivariant nature of the Frobenius splitting of the flag variety of G.

研究の動機と目的

• フラッグ多様体 $G/B$ 上のフロベニウス分解を、分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ の分解を用いて $G$-不変な形に再定式化すること。
• クマールとリッテルマンの結果を拡張し、フロベニウス分解の構成法を単純な部分群からボレル部分群へ一般化すること。
• 任意の $G$-加群 $M$ のフロベニウス捩れ $M^{[1]}$ に対して、$(M^{[1]})^{\phi} \simeq M$ を満たす $M^{\phi} \simeq (M^{[1]})^{\phi}$ 上に自然な $G$-加群構造を確立すること。
• 分解 $\phi$ が $B^+$-半不変であり、シューベルト部分多様体と整合することを示すこと。
• [KuLi] の量子群に基づく手法の代替として、モジュラーで $G$-不変な手法を提供し、証明を簡略化し、幾何的不変性を明確にすること。

提案手法

• 最大トーラス $T$ のフロベニウス核の分布代数 $\mathrm{Dist}(\ker Fr_T)$ に不変測度 $\mu_0$ を構成する。
• 単位として $\mu_0$ を用いる分解準同型 $\phi: \mathrm{Dist}(G) \to \mathrm{Dist}(G)$ を定義し、$\mathrm{Dist}(G)$ 上のフロベニウス自己準同型を分解する。
• $\phi$ を用いて、$M^{\phi} = \mu_0 M = \coprod_{\lambda} M_{p\lambda}$ 上に新しい $G$-加群構造を定義し、$(M^{[1]})^{\phi} \simeq M$ を満たすことを示す。
• $\phi$ の $B^+$-半不変性を活用し、フラッグ多様体 $G/B$ 上のフロベニウス分解が $B$-半不変であることを示し、ミーハ・ラマナサン理論が要請する条件を満たすことを確認する。
• 制限と双対性を用いて、シューベルト多様体に分解を適用し、$\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ 上の標準的フロベニウス分解と整合することを示す。
• $\mathbb{F}_p[t]$ 上の $\mathbb{F}_p$-代数構造（$t^\nu = \prod t_\alpha^{\nu_\alpha}$）を用いて、$\mathrm{St}$ 内の $p$-乗数と消滅子を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラッグ多様体 $G/B$ のフロベニウス分解を、$\mathrm{Dist}(G)$ の自然な分解を用いて $G$-不変にできるか？
• RQ2 $M^{\phi} \simeq (M^{[1]})^{\phi}$ を満たす $G$-不変な $M^{\phi}$ の構成法は存在するか？
• RQ3 分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ 上の分解 $\phi$ はシューベルト部分多様体と整合するか？
• RQ4 $\phi$ の $B^+$-半不変性を用いて、$G/B$ の自然なフロベニウス分解を再構成できるか？
• RQ5 $L((p-2)\rho) \otimes \mathcal{L}(-\rho)$ は $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ の直和成分であるか？

主な発見

• 分解 $\phi$ は $G$-不変かつ $B^+$-半不変であり、$M^{\phi} = \coprod_{\lambda} M_{p\lambda}$ 上に自然な $G$-加群構造を与える。
• $(M^{[1]})^{\phi} \simeq M$ を満たすため、$M^{\phi}$ はリッテルマンの意味でのフロベニウス収縮であることが示される。
• $\phi$ はフラッグ多様体 $G/B$ 上に $B$-半不変なフロベニウス分解を誘導し、ミーハ・ラマナサンの自然な分解を再構成する。
• 双対ペアリングにおける $w^{-1}f_{-}$ の $U^{+}w$ 上での消滅により、分解がシューベルト部分多様体と整合することが示される。
• 本手法は、[KuLi] の量子群に基づく手法の代替としてモジュラーかつ $G$-不変であり、$B$-半不変性の証明を簡略化する。
• $\mathbb{F}_p[t]$ 内の $p$-乗数の分析により、$\sum v_i \smallsmile f_i^p = 0$ ならば $Uwv_{-}$ 上で $f_{-} = 0$ であることが示され、分解の単射性が確認される。