[論文レビュー] Contraction par Frobenius et modules de Steinberg

M. Gros, Masaharu Kaneda|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正標数における再帰的群の加群におけるフロベニウス収縮関手が、フロベニウス捩れのスタインバーグ加群との二重テンソル積に関して右随伴であることを確立している。この関手が単射的加群および良いフィルトレーションを保存することを証明しているが、一般には半単純性を保存しない。結果は $G_r$-加群へ拡張され、分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ におけるスプリットフロベニウスを用いたカテゴリカルな枠組みによって、フロベニウス関連の加群構成が提示される。

ABSTRACT

For a reductive group G defined over an algebraically closed field of positive characteristic, we show that the Frobenius contraction functor of G-modules is right adjoint to the Frobenius twist of the modules tensored with the Steinberg module twice. It follows that the Frobenius contraction functor preserves injectivity, good filtrations, but not semisiplicity.

研究の動機と目的

• フロベニウス捩れのスタインバーグ加群との二重テンソル積に関する随伴を用いて、$G$-加群上のフロベニウス収縮関手を特徴付けること。
• フロベニウス収縮関手が単射的加群および良いフィルトレーションを持つ加群を保存することを確立すること。
• 関手が一般には半単純性を保存しないことの証明。
• $G_r$ を $G$ の $r$ 番目のフロベニウス核とするとき、結果を $G_r$-加群および $G_rB$-加群へ拡張すること。
• 分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ におけるスプリットフロベニウスを用いた、フロベニウス収縮のカテゴリカルかつ構造的理解を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、$\mathrm{Dist}(T_1)$ 内の一意な冪等元 $\mu_0$ を用いて構成された $\mathrm{Dist}(G)$ 上のスプリットフロベニウス準同型を用い、$G$-加群上のフロベニウス収縮関手 $M \mapsto M^\phi$ を定義する。
• 収縮関手は、代数準同型 $\phi: \mathrm{Dist}(G) \to \mu_0\mathrm{Dist}(G)\mu_0$ を通じて $M$ 上の $G$-作用を引き戻すことで定義され、$\mathrm{Dist}(F) \circ \phi = \mathrm{id}$ を満たす。
• 主な随伴関係は、フロベニウス収縮関手と関手 $M \mapsto \mathrm{St}^{[1]} \otimes \mathrm{St}^{[1]} \otimes M^{[1]}$ の間で確立され、ここで $\mathrm{St}$ はスタインバーグ加群、$[1]$ はフロベニウス捩れを表す。
• 良いフィルトレーションの保存は、$\mathrm{Ext}^1$ の消失と、$\mathrm{St}_s \otimes \mathrm{St}_s \otimes \hat{\Delta}_{r-s}(\lambda)^{[s]}$ が $\hat{\Delta}_r$-フィルトレーションをもつことにより示される。
• $G_r$-加群への結果の拡張は、$G_rT$-加群構造と、$\tilde{\nabla}_r(\lambda)^{\phi^s}$ が $\tilde{\nabla}_{r-s}$-フィルトレーションをもつことの事実を用いて行われる。
• 証明は、テンソル恒等式および誘導関手を含む、ジャンツェンの代数的群の表現論における標準的結果に依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における $G$-加群上のフロベニウス収縮関手は、スタインバーグ加群のフロベニウス捩れとの二重テンソル積に関して右随伴か？
• RQ2 フロベニウス収縮関手は単射的加群および良いフィルトレーションを持つ加群を保存するか？
• RQ3 フロベニウス収縮関手は一般に半単純性を保存するか？
• RQ4 $G$-加群に関する結果は、$G_r$-加群および $G_rB$-加群へ拡張可能か？
• RQ5 分布代数 $\mathrm{Dist}(G)$ におけるスプリットフロベニウスの役割は、収縮関手の定義と特徴付けにどのように寄与するか？

主な発見

• フロベニウス収縮関手 $M \mapsto M^\phi$ は、関手 $M \mapsto \mathrm{St}^{[1]} \otimes \mathrm{St}^{[1]} \otimes M^{[1]}$ に関して右随伴であり、基本的なカテゴリカルな双対性を確立する。
• 関手は単射的加群を保存する。これは随伴関係と右随伴が単射的加群を保存することの事実により示される。
• 関手は良いフィルトレーションの存在を保存する。これは $\mathrm{Ext}^1$ 群の消失と、関連するテンソル積の $\hat{\Delta}_r$-フィルトレーションの存在により証明される。
• 関手は一般には半単純性を保存しない。論文内で提示された反例により示される。
• $G_r$-加群に対して、$M$ が $\nabla_r$-フィルトレーションをもつとき、収縮関手 $M^{\phi^s}$ は $\nabla_{r-s}$-フィルトレーションを保存する。
• $G_rB$-加群に対して、$M$ が $\tilde{\nabla}_r$-フィルトレーションをもつとき、収縮関手 $M^{\phi^s}$ は $\tilde{\nabla}_{r-s}$-フィルトレーションを保存する。