[論文レビュー] Contractions of Lie algebras and algebraic groups

Dietrich Burde|ArXiv.org|Mar 23, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は代数幾何と群スキーム理論を用いて、リー代数および代数群の縮約、退化、変形の概念を統一する。すべてのリー代数若しくは代数群の退化が縮約に対応することを確立し、退化が群スキームに持ち上がることの条件を提示する。主な結果として、保存表現とNéron-Blowupを用いたNoether的持ち上げについて述べる。

ABSTRACT

Degenerations, contractions and deformations of various algebraic structures play an important role in mathematics and physics. There are many different definitions and special cases of these notions. We try to give a general definition which unifies these notions and shows the connections among them. Here we focus on contractions of Lie algebras and algebraic groups.

研究の動機と目的

• リー代数および代数群における縮約、退化、変形の概念を統一すること。
• 滑らかなアフィン群スキームを用いて、代数群の退化とリー代数の縮約の関係を明確化すること。
• リー代数の退化が代数群に持ち上がるための十分条件を、保存表現を用いて提示すること。
• すべてのIn"{o}n"{u}-Wigner縮約がNéron-Blowup構成を用いて群スキームレベルに持ち上がることを示すこと。

提案手法

• 離散値環上の滑らかなアフィン群スキームを用いて、代数群の退化および縮約をモデル化する。
• リー代数の法則の多様体 $\mathcal{L}_n(k)$ における $GL_n(k)$-軌道のZariski閉包を用いて退化を定義する。
• 群スキームの退化とリー代数の退化を結びつけるためにLie関手を適用する。
• 底面の環上で構造を保存するホモモーティズムとして、退化したリー代数の保存表現の概念を導入する。
• In"{o}n"{u}-Wigner縮約の群スキームへの持ち上げを構成するために、Néron-Blowup技法を用いる。
• 座標環との整合性を保証するため、双対写像 $\Phi^\#$ を用いて一般化された縮約を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数の退化が、対応する代数群の退化に持ち上がるための条件は何か？
• RQ2 リー代数の縮約は、軌道閉包の意味における退化とどのように関係するか？
• RQ3 退化したリー代数の保存表現が、群スキームへの持ち上げの存在を保証するのはいつか？
• RQ4 すべてのIn"{o}n"{u}-Wigner縮約は、群スキームの縮約として実現可能か？
• RQ5 Néron-Blowupは、退化が代数群に持ち上がる際、どのような役割を果たすか？

主な発見

• すべてのリー代数の縮約は、$\mathcal{L}_n(k)$ 内の軌道閉包の意味で退化である。逆に、代数的閉包のもとではその逆も成り立つ。
• 標数0の体上の代数群の退化は、底面の環が完全な離散値環であれば、縮約と同型である。
• 忠実な群表現の微分である保存表現を有する退化したリー代数は、群スキームへの持ち上げの存在を保証する。
• 極限代数の中心が自明であれば、随伴表現は保存され、持ち上げ条件を満たす。
• すべてのIn"{o}n"{u}-Wigner縮約は、Néron-Blowup構成を用いて群スキームに持ち上がることを示した。
• 群スキームの退化の一般ファイバーは、有限次拡大を施した後、元の群と同型であり、退化プロセスと整合的である。