[論文レビュー] Contractivity, complete contractivity and curvature inequalities

Misra, Gadadhar, Pal, Avijit|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界な領域 $\Omega \subset \mathbb{C}^m$ における Cowen-Douglas 現象 $\mathrm{B}_1(\Omega)$ における局在化作用素によって誘導される準同型の収縮性および完全収縮性を調査する。これらの性質が関連する正則ベクトル束の曲率不等式と同値であることが示され、対称領域上の Bergman 核から得られる明示的な例が提示される。主な貢献は、曲率行列と行列値多項式を用いた $\lambda$-依存性の明確な特徴付けである。

ABSTRACT

For any bounded domain $Ω$ in $\mathbb C^m,$ let ${\mathrm B}_1(Ω)$ denote the Cowen-Douglas class of commuting $m$-tuples of bounded linear operators. For an $m$-tuple $\boldsymbol T$ in the Cowen-Douglas class ${\mathrm B}_1(Ω),$ let $N_{\boldsymbol T}(w)$ denote the restriction of $\boldsymbol T$ to the subspace ${\cap_{i,j=1}^m\ker(T_i-w_iI)(T_j-w_jI)}.$ This commuting $m$-tuple $N_{\boldsymbol T}(w)$ of $m+1$ dimensional operators induces a homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}$ of the polynomial ring $P[z_1, ..., z_m],$ namely, $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}(p) = p\big (N_{\boldsymbol T}(w) \big),\, p\in P[z_1, ..., z_m].$ We study the contractivity and complete contractivity of the homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}.$ Starting from the homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}},$ we construct a natural class of homomorphism $ρ_{_{\!N^{(λ)}(w)}}, λ>0,$ and relate the properties of $ρ_{_{\!N^{(λ)}(w)}}$ to that of $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}.$ Explicit examples arising from the multiplication operators on the Bergman space of $Ω$ are investigated in detail. Finally, it is shown that contractive properties of $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}$ is equivalent to an inequality for the curvature of the Cowen-Douglas bundle $E_{\boldsymbol T}$.

研究の動機と目的

• 局在化作用素 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ に関連する準同型の収縮性および完全収縮性を特徴付けること。
• これらの作用素理論的性質が正則ベクトル束 $E_{\boldsymbol{T}}$ の曲率不等式とどのように関係するかを明らかにすること。
• Bergman 核の $\lambda$ 乗から生じる $\lambda > 0$ をパrameterとする準同型 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ の族を構成し、その解析を行うこと。
• 準同型 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ が収縮的または完全収縮的であるための $\lambda$ の鋭い閾値を、明示的な曲率計算を用いて特定すること。

提案手法

• 局在化作用素 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ を、$\boldsymbol{T}$ を共通核部分空間 $\mathcal{N}(w) = \bigcap_{i,j=1}^m \ker(T_i - w_i I)(T_j - w_j I)$ に制限することで定義する。
• $\lambda$ 乗の Bergman 核から得られる $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ を構成し、多項式環 $P[z_1, \dots, z_m]$ 上への表現を誘導する。
• 曲率行列 $\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)$ を、$\gamma(w)$ を束の正則セクションとするとき、$\log \|\gamma(w)\|^2$ の負のヘッセ行列として表現する。
• ${\gamma(w), \partial_1\gamma(w), \dots, \partial_m\gamma(w)}$ のグラム・シュミット正規直交化を用いて、$N_{\boldsymbol{T}}(w)$ を上三角行列形式に表現し、その成分を $\boldsymbol{\alpha}_i(w)$ と表す。
• 行列 $\big(\langle \boldsymbol{\alpha}_i(w), \boldsymbol{\alpha}_j(w) \rangle \big)_{i,j}$ を、曲率行列の逆行列 $-\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)^{-1}$ と関係付ける。
• von Neumann 不等式および作用素ノルム条件を適用し、$\lambda$ を用いた収縮性および完全収縮性の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $\lambda > 0$ の条件下で準同型 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ が収縮的となるか。
• RQ2 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ が完全収縮的であるのはいつか、そしてこれは Cowen-Douglas バンドルの曲率とどのように関係するか。
• RQ3 曲率行列 $\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)$ と局在化作用素の内積構造が収縮性にどのように寄与するか。
• RQ4 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ の収縮性は、Bergman 核の $\lambda$ 乗のみを用いて完全に特徴付けられるか。
• RQ5 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ の収縮性と、$w$ における行列値多項式の作用素ノルムの間にはどのような関係があるか。

主な発見

• 準同型 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ が収縮的であるのは、$\lambda \geq \frac{1}{4}$ のときに限り、原点における曲率行列成分のノルム不等式から導かれる。
• 準同型 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ が完全収縮的であるのは、$\lambda \geq \frac{11}{20}$ のときに限り、行列 $A_1 = I_2$, $A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ を持つ行列値多項式 $P_{\mathbf{A}}(z) = z_1 A_1 + z_2 A_2$ の作用素ノルムに基づく。
• 領域 $\Omega = \{(z_1,z_2,z_3) : |z_2|^2 \leq (1-|z_1|^2)(1-|z_3|^2), 1-|z_3|^2 \geq 0\}$ に対して、原点における曲率行列の対角成分は $T_{11}(0) = 3\lambda$, $T_{22}(0) = \frac{9\lambda}{2}$, $T_{33}(0) = 3\lambda$ であり、非対角成分はすべて 0 である。
• 収縮性条件 $\|A(0)^t\|_{\ell^2 \to C_{\Omega,0}}^2 \leq 1$ は不等式 $|a_{11}^\lambda(0)|^2(1 - |a_{33}^\lambda(0)|^2) \geq |a_{22}^\lambda(0)|^2 - |a_{33}^\lambda(0)|^2$ を導き、これより $\lambda \geq \frac{1}{4}$ が得られる。
• 三変数多項式 $P_{\mathbf{A}}(z) = z_1 A_1 + z_2 A_2 + z_3 A_3$ に対して、$A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ のとき、準同型 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ が完全収縮的であるのは $\lambda \geq \frac{5}{9}$ のときに限り、そのことが示される。