[論文レビュー] Contragredients of irreducible representations in theta correspondences

Binyong Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、標数0の非アーベル局所体上の古典的群（GL(n)、U(n)、O(n)、Sp(2n)など）の無限可縮な滑らかな表現πに対して、πの対偶表現が群の自己同型によるπのねじれ（twist）と同型であることを確立する。主な貢献は、局所シータ対応に現れるような二重被覆群に対して、この既知の結果を拡張し、同様の対偶-ねじれ同型が成り立つことを証明することにある。

ABSTRACT

Abstract. Let G be a classical group GL(n), U(n), O(n) or Sp(2n), over a nonarchimedean local field of characteristic zero. Let π be an irreducible admissible smooth representation of G. It is well known that the contragredient of π is isomorphic to a twist of π by an automorphism of G. We prove a similar result for double covers of G which occur in the study of local theta correspondences. 1. The results Fix a non-archimedean local field k of characteristic zero. Let A be a k-algebra and τ be a k-algebra involution of A so that ⎨ (k × k, the nontrivial automophism), (A, τ) = (a quadratic field extension of k, the nontrivial automophism), or (k, the trivial automophism). Let ǫ = ±1 and let E be an ǫ-hermitian A-module, namely it is a free A-module of finite rank, equipped with a non-degenerate k-bilinear map satisfying 〈 , 〉E: E × E → A 〈u, v〉E = ǫ〈v, u 〉 τ E, 〈au, v〉E = a〈u, v〉E, a ∈ A, u, v ∈ E. Denote by U(E) the group of all A-module automorphisms of E which preserve the form 〈 , 〉E. Depending on A and ǫ, it is a general linear group, unitary group, orthogonal group or symplectic group. Following [MVW87, Proposition 4.I.2], we extend U(E) to a larger group, which is denoted by Ŭ(E), and consisting of pairs (g, δ) ∈ GLk(E) × {±1} such that either δ = 1 and g ∈ U(E),

研究の動機と目的

• 線形群の場合に知られている、無限可縮表現の対偶とその群自己同型によるねじれとの同型関係を、古典的群の二重被覆に一般化すること。
• 局所シータ対応の文脈において、二重被覆が自然に現れる中で、対偶表現の性質を調査すること。
• 線形群の古典的ケースに類似した構造的性質を、メタプレクティック群（二重被覆）上の表現に確立すること。
• シータ対応の枠組みにおいて双対性と双対性を保つ性質を研究するための基礎的道具を提供すること。

提案手法

• 標数0の非アーベル局所体kを固定し、k代数Aとそのk代数的対合τを考察する。これにより、k、kの二次拡大、あるいはk×kのケースが含まれる。
• 有限ランクのǫ-ヘルミートA加群Eを定義し、〈u,v〉 = ǫ〈v,u〉τ を満たし、A線形性を持つ非退化なA値形式を備える。
• ǫ-ヘルミート形式を保つA線形自己同型のなす群として、ユニタリ群U(E)を定義する。
• GLk(E) × {±1} に属する対(g, δ)からなるより大きな群Ŭ(E)にU(E)を拡張する。ここでδ = 1 かつ g ∈ U(E)、またはδ = −1 かつ g が形式とねじれた整合性を持つ。
• Ŭ(E)の構造を用いて、古典的群の二重被覆の表現を分析する。
• [MVW87]の結果を応用し、線形群からメタプレクティック被覆への双対性の性質を昇格させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的群の二重被覆上の無限可縮な滑らかな表現πの対偶表現が、線形の場合と同様に、群の自己同型によるπのねじれと同型であるか？
• RQ2 ǫ-ヘルミート加群およびそのユニタリ群の構造が、シータ対応の文脈における二重被覆の設定にどのように拡張されるか？
• RQ3 拡張群Ŭ(E)は、メタプレクティック群上の表現の双対性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 線形群から二重被覆群に移行する際、シータ対応において対偶の双対性が保存されるか？
• RQ5 群の自己同型は、メタプレクティック設定において、どのように表現に作用して対偶同型を実現するか？

主な発見

• 古典的群の二重被覆上の無限可縮で滑らかな表現πの対偶表現は、群の自己同型によるπのねじれと同型である。
• 対偶の同型型は、二重被覆の非自明性にもかかわらず、線形の場合と同様の構造的メカニズムによって保たれる。
• 拡張群Ŭ(E)は、メタプレクティック群上の表現およびその双対性の性質を分析する自然な枠組みを提供する。
• 結果は、線形群に対する古典的双対性結果を、シータ対応に現れる二重被覆の設定に一般化する。
• 証明は、ǫ-ヘルミート加群の構造と形式が自己同型群と整合することに依拠し、[MVW87]で知られている結果を拡張する。
• この枠組みにより、対偶同型がシータ対応と整合的であり、メタプレクティック設定における双対性が保たれることが保証される。