[論文レビュー] Contrast estimation of general locally stationary processes using coupling

Jean‐Marc Bardet, Paul Doukhan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、GARCH や LARCH(∞) などの無限記憶モデルを含む一般の局所定常過程における時変化パラメータのカーネルベース推定法を導入し、カップリング論法を用いて一様一様収束性および漸近正規性を確立する。本手法は、Dahlhaus らの先行研究を、対照関数の正則性条件を最小限に抑えた非マルコフ型・長記憶過程へと拡張する。

ABSTRACT

This paper aims at providing statistical guarantees for a kernel based estimation of time varying parameters driving the dynamic of local stationary processes. We extend the results of Dahlhaus et al. (2018) considering the local stationary version of the infinite memory processes of Doukhan and Wintenberger (2008). The estimators are computed as localized M-estimators of any contrast satisfying appropriate contraction conditions. We prove the uniform consistency and pointwise asymptotic normality of such kernel based estimators. We apply our result to usual contrasts such as least-square, least absolute value, or quasi-maximum likelihood contrasts. Various local-stationary processes as ARMA, AR(infty), GARCH, ARCH(infty), ARMA-GARCH, LARCH(\infty),..., and integer valued processes are also considered. Numerical experiments demonstrate the efficiency of the estimators on both simulated and real data sets.

研究の動機と目的

• 局所定常性の理論枠組みをマルコフ型および線形モデルにとどまらず、一般の無限記憶過程へと拡張すること。
• 非線形的・非マルコフ型時系列における時変化パラメータのカーネルベースM推定量について、一様収束性および漸近正規性という統計的保証を提供すること。
• GARCH(∞)、AR(∞)、LARCH(∞) など、従来の局所定常性理論の範囲外にあったモデルを扱えるようにすること。
• 最小二乗法、絶対偏差最小法、準最尤法を含む多様な対照関数に適用可能な一般化された推定手順を開発すること。
• 推定器のミニマックスレート最適性を、依存構造に関する明確で検証可能な鋭い条件のもとで確立すること。

提案手法

• 著者らは、時変化パラメータと過去のノイズ項の再帰的関数として定義される時変化局所定常過程を定式化し、u ∈ (0,1) に対して滑らかな関数 θ*(u) でパラメータ経路を近似する。
• 時間点 u の周辺にカーネル重みを用いて局所的対照関数 Φ を構築し、パrameter空間 Θ 上でのこの局所的対照関数の最小化により推定量を定義する。
• Dedecker と Prieur のカップリング技法を用いて、無限記憶過程における依存構造を制御し、先行研究で用いられた微分に基づく手法に代わる。
• 本手法は関数的依存度測度とモーメント条件に依拠し、異なるカップリングスキームにおける対照関数勾配の差の上限を導出する。
• 関数 Fθ 及びその導関数のリプシッツ連続性による理論的保証を提供し、過去の経路の摂動に対しても安定性を確保する。
• 漸近正規性および一様収束性は、漸近的分散共分散行列およびフィッシャー情報行列が正定値であることを保証する条件下で確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所定常性の枠組みは、GARCH(∞) や LARCH(∞) などの非マルコフ型・無限記憶過程へと拡張可能か？
• RQ2 非マルコフ型設定下でも、時変化パラメータのカーネルベースM推定量は一様収束性および漸近正規性を満たすか？
• RQ3 推定器のミニマックスレート最適性を保証するための、対照関数および依存構造に関する最小限の正則性条件は何か？
• RQ4 カップリング論法を用いることで、無限記憶過程の漸近的性質を示すために微分に基づく手法を置き換えることは可能か？
• RQ5 同一の理論枠組みで、有限記憶モデル（例：ARMA(p,q)）と無限記憶モデル（例：ARCH(∞)）を統一的に取り扱えるか？

主な発見

• 対照関数および依存構造に関する弱く検証可能な正則性条件のもとで、カーネルベースM推定量は一様収束性および点ごとの漸近正規性を達成する。
• 推定量はミニマックスレート最適であり、提示されたモデルクラスにおける時変化パラメータ推定の最良の収束速度を達成する。
• 本手法は、最小二乗法、絶対偏差最小法、準最尤法を含む広範な対照関数クラスに適用可能であり、多様な時系列モデルにおける推定を可能にする。
• 理論的保証は、有限記憶モデル（例：ARMA(p,q)、GARCH(p,q)）および無限記憶モデル（例：AR(∞)、ARCH(∞)、LARCH(∞)）の両方に対して確立され、先行研究を拡張する。
• カップリングに基づくアプローチにより、長距離依存構造および非マルコフ構造を効果的に扱い、文献における微分に基づく手法の限界を克服する。
• 数値実験により、シミュレートデータおよび実データの両方で推定量の効率性が確認され、実用的妥当性およびロバストネスが示された。