[論文レビュー] Contravariant Densities, Operational Distances and Quantum Channel Fidelities

V. P. Belavkin|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2004

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、量子操作（正規CP写像を介して）とそのヘルミート正定値作用素値カーネルの間の一対一対応を確立するために、反変トレース密度を導入する。量子操作間のCBノルムおよび一般化されたCB距離の明示的表現を導出し、タイプ1およびタイプ2の入力に対してヘルミート型完全忠実度距離とCB距離の同値性を証明し、量子符号化および純粋化最適化を通じて操作的解釈を提供する。

ABSTRACT

Introducing contravariant trace-densities for quantum states, we restore one to one correspondence between quantum operations described by normal CP maps and their trace densities as Hermitian positive operator-valued contravariant kernels. The CB-norm distance between two quantum operations with type one input algebras is explicitly expressed in terms of these densities, and this formula is also extended to a generalized CB-distances between quantum operations with type two inputs. A larger C-distance is given as the natural norm-distance for the channel densities, and another, Helinger type distance, related to minimax mean square optimization problem for purification of quantum channels, is also introduced and evaluated in terms of their contravariant trace-densities. It is proved that the Helinger type complete fidelity distance between two channels is equivalent to the CB distance at least for type one inputs, and this equivalence is also extended to type two for the generalized CB distance. An operational meaning for these distances and relative complete fidelity for quantum channels is given in terms of quantum encodings as generalized entanglements of quantum states opposite to the inputs and the output states.

研究の動機と目的

• 正規CP写像とそれに対応するヘルミート正定値作用素値カーネルの間の一対一対応を、反変カーネルを用いて回復すること。
• タイプ1の入力代数を持つ量子操作間のCBノルム距離を、これらの反変トレース密度の関数として表現すること。
• タイプ2の入力代数を持つ量子操作へ向けたCB距離の定式化を一般化すること。
• 量子チャネルの純粋化におけるミニマックス平均二乗推定に基づく、ミニマックス平均二乗最適化に関連するヘルミート型距離を導入し、評価すること。
• 量子符号化および入出力状態の一般化されたもつれを介して、これらの距離に操作的意味を与えること。

提案手法

• 正規CP写像に対応するヘルミート正定値作用素値カーネルとしての反変トレース密度を定義すること。
• 2つの量子操作間のCBノルム距離を、それらの反変トレース密度の関数として表現すること。
• 一般化されたCBノルムを用いて、タイプ2の入力代数へのCB距離の定式化を拡張すること。
• ミニマックス平均二乗推定における純粋化プロトコルから導かれる自然なノルム距離としてのヘルミート型距離を導入すること。
• トレース密度を用いて、量子チャネル間のヘルミート型完全忠実度距離を評価すること。
• 解析的導出により、ヘルミート型完全忠実度距離とCB距離（タイプ2用に一般化されたもの）の同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反変カーネルを用いて、量子操作とそのトレース密度の間の一対一対応をどのように回復できるか？
• RQ2 タイプ1の入力代数を持つ量子操作間のCBノルム距離の明示的表現は、反変トレース密度を用いてどのように表されるか？
• RQ3 タイプ2の入力代数を持つ量子操作へ向けたCB距離をどのように一般化できるか？
• RQ4 量子チャネルの純粋化の文脈において、ヘルミート型距離の操作的意義は何か？
• RQ5 タイプ1およびタイプ2の入力代数に対して、ヘルミート型完全忠実度距離がCB距離とどの程度同値であるか？

主な発見

• 反変トレース密度は、正規CP写像とヘルミート正定値作用素値カーネルの間の一対一対応を提供する。
• タイプ1の入力を持つ量子操作間のCBノルム距離は、その反変トレース密度を用いて明示的に表現される。
• 同じトレース密度フレームワークを用いて、タイプ2の入力を持つ量子操作へ向けた一般化されたCB距離が拡張される。
• ヘルミート型距離は、チャネル密度の自然なノルム距離として導入され、トレース密度を用いて評価される。
• ヘルミート型完全忠実度距離は、タイプ1の入力に対してCB距離と同値であることが証明された。
• 一般化されたCB距離を用いる場合、この同値性はタイプ2の入力に対しても拡張される。