[論文レビュー] Contributions to Random Energy Models

Nabin K. Jana|ArXiv.org|Nov 8, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、外部磁場を含むガウス型REM（Random Energy Model）を、大偏差原理を用いて解析し、限界自由エネルギーを導出する。温度と磁場強度に応じた相転移を特定し、自由エネルギーの正確な式を異なる領域で得る。特に、$\beta = \frac{1}{a}\sqrt{2\log 2}$ における臨界閾値と、逆双曲正接関数を含む超越方程式の解 $y_0$ に依存する構造を明らかにする。

ABSTRACT

In this thesis, we consider several Random Energy Models. This includes Derrida's Random Energy Model (REM) and Generalized Random Energy Model (GREM) and a nonhierarchical version (BK-GREM) by Bolthausen and Kistler. The limiting free energy in all these models along with Word GREM, a model proposed by us, turn out to be a cute consequence of large deviation principle (LDP). This LDP argument allows us to consider non-Gaussian driving distributions as well as external field. We could also consider random trees as the underlying tree structure in GREM. In all these models, as expected, limiting free energy is not 'universal' unlike the SK model. However it is 'rate specific'. Consideration of non-Gaussian driving distribution as well as different driving distributions for the different levels of the underlying trees in GREM leads to interesting phenomena. For example in REM, if the Hamiltonian is Binomial with parameter $N$ and $p$ then the existence of phase transition depends on the parameter $p$. More precisely, phase transition takes place only when $p>{1/2}$. For another example, consider a 2 level GREM with exponential driving distribution at the first level and Gaussian in the second with equal weights at both the levels. Then even if the limiting ratio for the second level particles, $p_2$ is 0.00001 (very small), the system reduces to a Gaussian REM. On the other hand, if we consider a 2 level GREM with Gaussian driving distribution at the first level and exponential in the second, the system will never reduce to a Gaussian REM. In either case, the system will never reduce to that of an exponential REM. etc.

研究の動機と目的

• 外部磁場下におけるランダムエネルギー模型（REM）の熱力学的挙動を大偏差理論を用いて分析すること。
• REMを外部磁場を含む形に一般化し、熱力学的極限における限界自由エネルギーを導出すること。
• 温度（$\beta$）と磁場強度（$h$）に応じた相転移を特定し、特に臨界閾値を同定すること。
• 自由エネルギーの異なる領域における厳密な数学的導出を提供すること。特に、レート関数の最小化子が異なる関数形に移行する場合を含む。

提案手法

• 外部磁場を含むREMにおけるエネルギー準位の経験的測度に大偏差原理（LDP）を適用する。
• エネルギーと磁化変数 $x$ および $y$ に対するレート関数 $f(x,y)$ を変分的最小化し、制約条件を満たす。
• 臨界点と境界挙動の分析により、レート関数の下界を導出し、$\beta$ と $h$ に応じた場合分けを行う。
• 磁化変数のエントロピー寄与を記述する関数 $\mathcal{I}_0(y) = y\tanh^{-1}y - \log\cosh(\tanh^{-1}y)$ を導入する。
• 超越方程式 $\frac{a\tanh^{-1}(y)}{\sqrt{2[\log 2 - \mathcal{I}_0(y)]}} = h$ を解き、相転移を支配する臨界磁化 $y_0$ を特定する。
• 自由エネルギーを二つの領域に分類する：一方はガウス型エネルギー項が支配的で、もう一方は磁場による磁化が支配的であり、$y_0$ と $c_\beta$ の相対的大きさに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部磁場の存在が、ガウス型ランダムエネルギー模型における限界自由エネルギーにどのように影響を与えるか？
• RQ2 外部磁場を含むREMにおいて、熱力学的挙動の異なる領域を分ける逆温度 $\beta$ の臨界値は何か？
• RQ3 レート関数の最小化子が $x = \beta a$ から $x = \sqrt{2[\log 2 - \mathcal{I}_0(y)]}$ に移行する条件は何か？
• RQ4 磁化 $y$ は相構造にどのように寄与するか？また、方程式 $\frac{a\tanh^{-1}(y)}{\sqrt{2[\log 2 - \mathcal{I}_0(y)]}} = h$ の解 $y_0$ は自由エネルギーを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 磁場と温度が非自明な磁化を生じる場合の、限界自由エネルギーの正確な式は何か？

主な発見

• 限界自由エネルギー $\mathcal{E}(\beta,h)$ はほとんど確実に存在し、$\beta$ と超越方程式の解 $y_0$ に依存する区分的表現で与えられる。
• $\beta \leq \frac{1}{a}\sqrt{2\log 2}$ かつ $y_0 \leq c_\beta$ の場合、自由エネルギーは $\log 2 + \frac{1}{2}\beta^2 a^2 + \log \cosh(\beta h)$ であり、エネルギーと磁場寄与が支配的である領域を示す。
• $\beta > \frac{1}{a}\sqrt{2\log 2}$ または $y_0 > c_\beta$ の場合、自由エネルギーは $\beta(ax_0 + hy_0)$ で与えられ、$x_0 = \frac{a\tanh^{-1}y_0}{h}$ であり、磁場支配領域への遷移を示す。
• 臨界閾値 $c_\beta$ は $\mathcal{I}_0(c_\beta) = \log 2 - \frac{1}{2}\beta^2 a^2$ で定義され、最小化子の挙動の違いを分ける境界を示す。
• 相図はDerridaの先行研究と整合的であり、外部磁場下でも非自明な自由エネルギー挙動を示すスピンガラス相の存在を確認する。
• $\varphi(y) = \inf_x f(x,y)$ は $y_0$ まで減少し、その後増加するため、臨界領域では全域最小値が $y_0$ で達成される。