[論文レビュー] Contributions to the Problems of Recognizing and Coloring Gammoids

Immanuel Albrecht|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マイノリティおよび双対性に関して閉じた部分クラスを定義する新しい複雑性測度を導入することで、ギャモイドの理論を発展させた。また、べき級数を用いず、有向グラフ表現からR行列表現を計算する完全に組合せ的な手法を提示し、すべての格子パスマトロイドが3色で塗り分け可能であることを証明した。さらに、α違反基準に基づくギャモイドの認識の包括的アルゴリズムと、ギャモイドのための新しい向き付け手順を提供した。

ABSTRACT

This work provides a thorough introduction to the field of gammoids and presents new results that are considered helpful for solving the problems of recognizing and coloring gammoids. Matroids are set systems that generalize the concept of linear independence between sets of rows of a matrix over a field. Gammoids are those matroids that may be represented by directed graphs where the corresponding independence is modeled as the existence of certain families of pair-wise vertex disjoint paths. The seminal papers in gammoid theory have been written by J.H. Mason [2], A.W. Ingleton and M.J. Piff [1]. Natural applications of gammoids can be found within the realms of connectivity of both directed and undirected graphs. In this work, we introduce our concept of the complexity of a gammoid, which may be used to define subclasses of the class of gammoids that inherit the most notable properties of the class of gammoids: being closed under minors, duality, and direct sums. Furthermore, we provide a comprehensive method for deciding whether a given matroid is a gammoid. We give a new procedure for obtaining an R-matrix, that represents a gammoid given by the means of a directed graph, which avoids using power series. We present the first purely combinatorial way of obtaining orientations of gammoids. We prove that every lattice path matroid is 3-colorable. In Chapter 1 we give a brief introduction to matroid theory: we present axiomatizations of matroids most relevant to this work, the concepts of minors and duality as well as representability over fields and properties of extensions. The same chapter also contains a brief introduction to the theory of transversals, including the Theorems of Hall, Rado, Ore, and Perfect, and an introduction to transversal matroids. Also, we provide a short introduction to directed graphs, we introduce the concept of a routing in a directed graph and we close the chapter with Menger’s Theorem and its consequences. In Chapter 2 we define gammoids as matroids that may be obtained from routings in directed graphs. We explore the properties of their directed graph representations and along that we define our notion of a duality respecting representation which correlates the duality-like notion of opposite directed graphs with the notion of duality with respect to gammoids. Furthermore, we introduce our three complexity measures for gammoids that yield subclasses of gammoids which are closed under minors and duality. We present Mason’s α-criterion for strict gammoids, and we examine the properties of strict gammoids and transversal matroids. We analyze the problem of recognizing gammoids, we develop the notion of an α-violation, and we present our best approach for deciding instances of the recognition problem. At the end of Chapter 2, we present our method for determining an R-matrix representing a gammoid from a given representation in terms of a directed graph. In Chapter 3 we shortly introduce oriented matroids and their associated concept of colorings. We show that all orientations of lattice path matroids have 3-colorings. Then we introduce our concept of a heavy arc orientation of a gammoid that yields a purely combinatorial way to obtain representable orientations of gammoids. In Chapter 4 we summarize our new results and give an overview of new and old open problems. [1] A.W. Ingleton and M.J. Piff. Gammoids and transversal matroids. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 15(1):51–68, 1973. [2] J.H. Mason. On a class of matroids arising from paths in graphs. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(1):55–74, 1972.

研究の動機と目的

• マイノリティおよび双対性に関して閉じた部分クラスを定義する、ギャモイドのための新しい複雑性測度を開発すること。
• べき級数を用いず、有向グラフ表現からギャモイドのR行列表現を完全に組合せ的に計算する手法を提供すること。
• 与えられたマトロイドがギャモイドであるかどうかを決定する包括的な手続きを確立すること。
• ギャモイドの向き付けのための新しい組合せ的手法を提示すること。
• すべての格子パスマトロイドが3色で塗り分け可能であることを証明すること。

提案手法

• マイノリティおよび双対性に関して閉じた部分クラスを生成する3つのギャモイドの複雑性測度を導入する。
• べき級数を用いず、有向グラフ表現からギャモイドのR行列表現を得るための新しい手順を開発する。
• 代数的・解析的技法に依存しない完全な組合せ的手法を用いてギャモイドの向き付けを提案する。
• メイソンのα基準を用いて厳密なギャモイドを特徴付け、その性質を分析する。
• 認識アルゴリズムの設計にα違反の概念を活用する。
• マイナーの定理と有向グラフにおけるルーティングの概念を用いて、ギャモイド表現を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャモイドの複雑性をどのように形式的に定義すれば、マイノリティおよび双対性に関して閉じた部分クラスが得られるか？
• RQ2 べき級数を用いず、有向グラフ表現からギャモイドのR行列表現を組合せ的に計算できるか？
• RQ3 マトロイドがギャモイドであることを保証する最小の条件の集合は何か、そしてそれがどのようにアルゴリズム的に検証できるか？
• RQ4 代数的・解析的構成に依存しない完全な組合せ的手法でギャモイドの向き付けができるか？
• RQ5 すべての格子パスマトロイドは3色で塗り分け可能であり、その構造的性質は何か？

主な発見

• すべての格子パスマトロイドが3色で塗り分け可能であることが証明され、ギャモイドの重要な部分クラスにおける強い構造的性質が確立された。
• べき級数を用いず、有向グラフ表現からギャモイドのR行列表現を計算するための新しい組合せ的手法が開発された。
• マイノリティおよび双対性に関して閉じた部分クラスを生成するギャモイドのための新しい複雑性測度が導入され、ギャモイド族のより細かい分類が可能になった。
• α違反の検出に基づく、与えられたマトロイドがギャモイドであるかどうかを決定する包括的なアルゴリズムが提示された。
• 代数的・解析的ツールに依存しない完全な組合せ的手続きが、ギャモイドの向き付けのために新たに導入され、構成的で独立した手法が提供された。
• 双対性を尊重する表現の概念が形式化され、ギャモイドにおける双対性が逆向きの有向グラフに関連付けられた。