[論文レビュー] Contributions to the Theory of the Barnes Function

Victor Adamchik|ArXiv.org|Aug 8, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 24被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、バーナーズ G 関数および多重ガンマ関数の新しい積分表現と漸近展開を提示し、グライザー＝キンケリン定数の高精度計算を可能にする。グライザー定数の新しい積分および級数公式を導出し、任意精度での評価に適した高速収束級数を含む。また、ゼータ関数、スターリング数、およびバーナーズ関数の特別値との関係を確立する。

ABSTRACT

This paper presents a family of new integral representations and asymptotic series of the multiple gamma function. The numerical schemes for high-precision computation of the Barnes gamma function and Glaisher's constant are also discussed.

研究の動機と目的

• バーナーズ G 関数および多重ガンマ関数の新しい積分表現と漸近展開を開発すること。
• 新規の級数および積分公式を用いて、グライザー＝キンケリン定数の高精度数値計算を可能にすること。
• バーナーズ関数、Hurwitz ゼータ関数、およびグライザー定数のような特別定数との関係を確立すること。
• 反射およびクラウゼン関数の恒等式を用いて、バーナーズ G 関数の解析接続および関数的性質を負の実軸へと拡張すること。
• 任意精度でのバーナーズ関数およびグライザー定数の評価に効率的な計算アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• Hermite 積分公式を用いて、Hurwitz ゼータ関数の s = -1 における導関数の新しい積分表現を導出する。
• 有理数係数を伴う ζ(2k+1) - 1 の和を用いた、log A の高速収束級数を導入し、高精度計算を可能にする。
• ゼータ関数の積分表現と、t^λ を用いた正則化による項別積分を用いて、複雑な積分を評価する。
• Riemann ゼータ関数の関数方程式を適用し、グライザー定数を ζ′(2) および γ を用いて表現する。
• クラウゼン関数の反射および周期性の性質を用いて、バーナーズ G 関数を負の実数引数へと拡張する。
• 級数 log A の正当性を、和をラプラス型積分に変換し、Γ 関数およびゼータ関数の恒等式を用いて λ → 0 の極限を評価することで検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーナーズ G 関数およびその対数微分関数に対して、新しい積分および級数表現を導出可能か？
• RQ2 級数展開を用いて、グライザー＝キンケリン定数を任意精度で計算する方法は何か？
• RQ3 バーナーズ G 関数は負の実軸上でどのような関数的および解析的性質を有するか？
• RQ4 バーナーズ G 関数およびグライザー定数は、Hurwitz ゼータ関数および Riemann ゼータ関数とどのように関係するか？
• RQ5 バーナーズ G 関数の漸近展開を、積分恒等式を介して既知の定数と関連づけて精緻化可能か？

主な発見

• log A の新しい高速収束級数が導出された：log A = log 2 / 12 + (1/36) Σ (ζ(2k+1) - 1)(28 + 3/(1+k) - 6/(2+k)) であり、誤差は O(1/4^N) で、p 桁の精度を得るには ⌈p/2 log₂10⌉ 項が必要である。
• グライザー＝キンケリン定数はバーナーズ G 関数の 1/2 における値で表現される：log A = 1/12 + log 2 / 36 - log π / 6 - (2/3) log G(1/2) であり、G(1/2) は式 (32) の積分で計算可能である。
• log A の新しい積分表現が得られた：log A = (1 + log(2π))/12 - (1/(2π²)) ∫₀^∞ (x log x)/(e^x - 1) dx。
• Riemann ゼータ関数の関数方程式を用いて、グライザー定数を A = exp(γ/12 - ζ′(2)/(2π²)) (2π)^{1/12} と書き直し、Mathematica の実装と一致する。
• クラウゼン関数および sin(πz) を含む反射公式を用いて、バーナーズ G 関数を負の実軸へと解析接続した。
• 本稿では、ベル数のハンケル行列 M_n に対して det(M_n) = G(n+1) が成り立つことを証明し、バーナーズ関数と組合せ的行列式の間に関係を確立した。