[論文レビュー] Control and Stabilization of the Korteweg-de Vries Equation on a Periodic Domain

Camille Laurent, Lionel Rosier+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、内部制御を用いて周期的領域上のKorteweg-de Vries（KdV）方程式に対して、グローバルな正確な可制御性およびグローバルな指数的安定化を確立する。線形化された系におけるBourgain空間内でのコンパクトネスおよび正則性の伝播を活用することで、自然なフィードバック則に基づくグローバルな指数的安定化を証明し、さらに任意の減衰率を達成するために時変なフィードバック則を設計する。これにより、任意に大きな収束速度を持つグローバルな指数的安定性が保証される。

ABSTRACT

This paper aims at completing an earlier work of Russell and Zhang to study internal control problems for the distributed parameter system described by the Korteweg-de Vries equation on a periodic domain T^1. In their article, Russell and Zhang showed that the system is locally exactly controllable and locally exponentially stabilizable when the control acts on an arbitrary nonempty subdomain of T^1. In this paper, we show that the system is in fact globally exactly controllable and globally exponentially stabilizable. The global exponential stabilizability corresponding to a natural feedback law is first established with the aid of certain properties of propagation of compactness and propagation of regularity in Bourgain spaces for solutions of the associated linear system. Then, using a different feedback law, the resulting closed-loop system is shown to be locally exponentially stable with an arbitrarily large decay rate. A time-varying feedback law is further designed to ensure a global exponential stability with an arbitrary large decay rate.

研究の動機と目的

• KdV方程式の可制御性に関する先行の局所的結果を、周期的領域上でのグローバル可制御性および安定化へと拡張すること。
• Bourgain空間内での伝播特性に基づく自然なフィードバック則を用いて、グローバルな指数的安定化を確立すること。
• 任意に大きな減衰率を達成できるように、時変なフィードバック則を設計すること。
• 初期条件がすべてのスケールで一様な減衰率を達成するという課題を、グローバルな枠組みで解決すること。

提案手法

• 線形化KdV系の解析にあたり、Bourgain空間内でのコンパクトネスおよび正則性の伝播を活用し、安定化推定を導出する。
• 固定された減衰率を持つグローバルな指数的安定化を達成するために、$ f = -GG^*u $ の形のフィードバック則を採用する。
• 高ゲインおよび低ゲインモードを切り替える時変なフィードバック則を導入し、任意に大きな減衰率を保証する。
• 一様な指数的減衰を保証するために、Partition of Unityおよび時変スイッチング戦略を適用する。
• Sobolev空間 $ H^s(\mathbb{T}) $（$ s \geq 0 $）におけるエネルギー推定およびGronwall型不等式を用い、非線形項をきめ細かく制御する。
• 長さ $ 2T $ の時間区間ごとの再帰的推定に依拠し、異なるフィードバック領域からの推定を組み合わせることで、時間経過に伴う減衰を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的領域上でのKdV方程式は、内部制御を用いてグローバルに正確に制御可能か？
• RQ2 時間不変なフィードバック則を用いてグローバルな指数的安定化は達成可能か？
• RQ3 時変なフィードバック則を設計することで、グローバルな枠組みで任意の減衰率を達成可能か？
• RQ4 Bourgain空間内でのコンパクトネスおよび正則性の伝播は、KdV方程式の安定化にどのような役割を果たすか？
• RQ5 初期データが小さくない場合でも、グローバル安定性を保証するにはどうすればよいか？（局所的結果は小さなデータに限られる。）

主な発見

• システムは $ H^s(\mathbb{T}) $（$ s \geq 0 $）においてグローバルに正確に可制御であり、先行の局所的結果を拡張する。
• フィードバック則 $ f = -GG^*u $ を用いることでグローバルな指数的安定化が達成され、ある $ \gamma > 0 $ に対して $ \|u(t) - [u_0]\|_s \leq M e^{-\gamma t} \|u_0 - [u_0]\|_s $ が成り立つ。
• 時変なフィードバック則が構成され、閉ループ系は任意に大きな減衰率を示すグローバルな指数的安定性を有する。
• 時変フィードバック則のパラメータを適切に選択することで、減衰率を任意に大きくできる。
• 証明は長さ $ 2T $ の区間ごとの再帰的推定に依拠し、異なるフィードバック領域からの指数的減衰を組み合わせる。
• ある時刻 $ t_2 $ において $ \|u(t_2)\|_s \leq r_1 $ であり、その後 $ e^{-2\lambda''T} $ の速度で減衰するため、すべての $ t \geq t_2 $ に対して一様な指数的減衰が保証される。