[論文レビュー] Control for Schroedinger operators on tori

Nicolas Burq, Maciej Zworski|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2011

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2次元トーラス上での滑らかなポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素について、可観測性および制御に関する結果を確立する。スペクトル理論および半古典的解析の手法を応用し、任意のトーラスの開部分集合から、$L^2$-意味での静的および動的シュレーディンガー方程式の解が制御可能であることを証明する。これは、ジャッファールの自由ラプラシアンに対する結果を、$V \in C^\infty(\mathbb{T}^2)$ の滑らかなポテンシャルの場合に拡張したものである。

ABSTRACT

A well known result of Jaffard states that an arbitrary region on a torus controls, in the L2 sense, solutions of the free stationary and dynamical Schroedinger equations. In this note we show that the same result is valid in the presence of a smooth time-independent potential. The methods apply to continuous potentials as well and we conjecture that the L2 control is valid for any bounded time dependent potential.

研究の動機と目的

• トーラス上での自由シュレーディンガー方程式に対するジャッファールの $L^2$-制御結果を、滑らかで時間に依存しないポテンシャルへ拡張すること。
• ポテンシャル付きの動的シュレーディンガー方程式の解についての可観測性推定式を確立し、初期データのエネルギーが時間にわたる部分集合での観測によって制御されることを示すこと。
• HUM法を用いて、$L^2((0,T)\times\Omega)$ 内の制御関数の存在を示し、それが時刻 $T$ において解をゼロに導くこと。
• ポテンシャルの滑らかな摂動に対して制御推定式が安定であることを証明し、$L^\infty$ や複素数値ポテンシャルに対してもその有効性が成り立つと予想すること。

提案手法

• 可観測性推定式から制御結果を導くためにHUM法を用い、制御問題と観測問題の双対性に依存する。
• 高周波数推定式に基づく摂動論的議論を用い、ポテンシャルの $L^\infty$-小摂動に対して高エネルギー推定式の定数が不変であることに着目する。
• 半古典的解析および欠損測度を用いて、解の伝播を分析し、特にハミルトニアンベクトル場のフロー下での位相空間における台の性質に注目する。
• 変数分離を用いて問題を1次元に還元し、モーザー平均化法の正準形定理を用いてポテンシャル項を扱う。
• ダ・ハムエルの公式を適用して静的および動的方程式を関連させ、定理1（静的制御）が定理2（動的可観測性）から導かれることが示される。
• 弱収束性を用いた背理法により可観測性推定式を証明し、観測作用素の核の有限次元性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上での自由シュレーディンガー作用素に対する $L^2$-制御性は、$V \in C^\infty(\mathbb{T}^2)$ の滑らかなポテンシャルの場合に拡張可能か？
• RQ2 ポテンシャル付きの動的シュレーディンガー方程式に対する可観測性推定式は、ポテンシャルの滑らかな摂動に対して安定か？
• RQ3 ポテンシャル付きシュレーディンガー方程式の制御結果は、$L^\infty$-正則ポテンシャルに対しても成り立ち、複素数値ポテンシャルへ拡張可能か？
• RQ4 半古典的解析および欠損測度を用いて、可観測性推定式を証明可能か？特に、ハミルトニアンフロー下での欠損測度の台の不変性を分析することで可能か？

主な発見

• 任意の開集合 $\Omega \subset \mathbb{T}^2$ に対して、静的シュレーディンガー方程式 $(-\Delta + V - \lambda)u = f$ の解の $L^2$-ノルムが、$f$ および $u$ の $\Omega$ 上への制限の $L^2$-ノルムによって制御可能であり、定数 $K = K(\Omega)$ は $\Omega$ のみに依存することを証明した。
• 動的シュレーディンガー方程式 $i\partial_t u = (-\Delta + V)u$ に対して、初期 $L^2$-ノルムが $\Omega \times (0,T)$ 上の解の $L^2$-ノルムによって制御可能であり、定数 $K = K(\Omega,T)$ を持つ。これにより可観測性推定式が確立された。
• HUM法と可観測性推定式を用いて、制御関数 $f \in L^2((0,T)\times\Omega)$ の存在を証明し、それが制御方程式の解を時刻 $T$ でゼロに導くことを示した。
• 弱収束性を用いた背理法に依拠し、楕円型作用素の特徴づけの性質から、観測作用素の核が有限次元であることを用いた。
• 主な技術的ステップは、高周波数推定式の定数が $L^\infty$ の有界集合内でのポテンシャル $V$ に対して独立であることを示したことである。これにより、$C^0$ や $L^\infty$ ポテンシャルに対する摂動議論が可能となった。
• 著者らは、結果が複素数値ポテンシャル $V \in L^\infty(\mathbb{T}^2; \mathbb{C})$ および時刻に依存するポテンシャル $V(t,z) \in L^\infty(\mathbb{R} \times \mathbb{T}^2; \mathbb{C})$ に対しても拡張可能であると予想している。