[論文レビュー] Control issues and linear projection constraints on the control and on the controlled trajectory

Sylvain Ervedoza|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、抽象的線形制御系において、制御と制御対象の軌道の両方に線形射影制約を課す条件を確立する。近似的・正確・ゼロ可制御性が、随伴系に対する新しい一意的拡張性条件が成り立つ場合に達成可能であることを証明しており、この条件は放物型・双曲型PDEを含むさまざまな設定で有効であることが示されている。

ABSTRACT

The goal of this article is to discuss controllability properties for an abstract linear system of the form $y' = Ay + Bu$ under some additional linear projection constraints on the control $u$ or / and on the controlled trajectory $y$. In particular, we discuss the possibility of imposing the linear projections of the controlled trajectory and of the control, in the context of approximate controllability, exact controllability and null-controllability. As it turns out, in all these settings, for being able to impose linear projection constraints on the trajectory and on the control, we will strongly rely on a unique continuation property for the adjoint system which, to our knowledge, has not been identified so far, and which does not seem classical. We shall therefore provide several instances in which this unique continuation property can be checked.

研究の動機と目的

• 制御入力とシステム軌道の両方に線形射影制約が課された場合、近似的・正確・ゼロ可制御性が達成可能かどうかを調査すること。
• このような制約付き可制御性が可能となる最小構造的条件——具体的には、随伴系に対する新しい一意的拡張性条件——を同定すること。
• 制御と軌道が関数空間内で所定の射影を満たすという制約下でも成り立つように、古典的可制御性理論を拡張すること。
• 特に熱方程式や波動方程式などのPDE設定において、新しい一意的拡張性条件が成り立つ検証可能な条件を提供すること。
• パrameterの変動に頑健で、制御集合が有界であるような実用的応用の基盤を、射影制約付き制御のコストと実現可能性を分析することで築くこと。

提案手法

• ヒルベルト空間における抽象的線形系 $ y' = Ay + Bu $ の制御問題を定式化し、制御 $ u $ と軌道 $ y $ にそれぞれ閉部分空間 $ \mathscr{G} \subset L^2(0,T;U) $ および $ \mathscr{W} \subset L^2(0,T;H) $ への正射影による制約を課す。
• 随伴系に対する新しい一意的拡張性条件を導入する：方程式 $ z' + A^*z = w $ の解 $ z $ が $ (0,T) $ で $ B^*z = g $ を満たすならば、$ z_T = 0 $、$ g = 0 $、$ w = 0 $ が成り立つ。この性質は制約付き可制御性に不可欠である。
• 双対性の議論と関数解析的手法を用いて、制約付き可制御性問題を随伴系を含むある最適化問題の可解性に還元する。
• 変分法を用いて、射影制約を正確に満たす制御を構成し、状態の近似的・正確・ゼロ可制御性を達成する。
• カルレマン推定とスペクトル法を用いて、時間に依存するポテンシャルを伴う熱方程式や波動方程式といった具体的なPDEモデルにおいて、一意的拡張性条件の妥当性を検証する。
• 非有界制御作用素やバナッハ空間への一般化、凸制御制約への応用を含め、今後の研究方向性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御と軌道の両方に線形射影制約が課された線形制御系が、どのような条件下で近似的可制御性を達成できるか。
• RQ2 随伴系に対する新しい一意的拡張性条件が制約付き可制御性を可能にする役割は何か。実務上、この条件はどのように検証可能か。
• RQ3 制御と軌道がそれぞれ特定の部分空間 $ \mathscr{G} $ および $ \mathscr{W} $ に射影されるという制約下でも、正確またはゼロ可制御性は達成可能か。
• RQ4 制御の射影 $ \mathscr{G} $ および軌道の射影 $ \mathscr{W} $ の制御コストはどのようにスケーリングされ、システムパラメータの観点から定量的に評価できるか。
• RQ5 制御空間が指数関数的でない関数の張る空間である場合、モーメント法に基づく手法は、制約付き可制御性問題にどのように適合可能か。

主な発見

• 近似的可制御性が、随伴系に対する新しい一意的拡張性条件が成り立つことと、$ \mathscr{W} $ が有限次元であることとを満たす場合に、制御と軌道の両方に射影制約を課した状態で達成可能である。
• 制約付き可制御性の鍵となる条件は、随伴系に対する一意的拡張性である：$ B^*z = g $ が $ (0,T) $ で成り立ち、$ z(T) = z_T $ ならば、$ z_T = 0 $、$ g = 0 $、$ w = 0 $ が成り立ち、これにより制約を満たす制御の存在が保証される。
• 時間に依存するポテンシャルを伴う熱方程式および適切な幾何的・スペクトル的条件下での波動方程式において、一意的拡張性条件が検証されている。
• 制御作用素 $ B $ が許容的である場合、非有界制御作用素に対しても、主定理の有効性が保たれる。
• 制御の制約が任意の閉部分空間 $ \mathscr{G} $ に属する場合、特に指数関数の張る有限次元空間を含む、さまざまな状況に適用可能である。
• モーメント法に基づく制御手法やコストの定量的評価に関する未解決問題が同定されており、特に非指数関数的制御部分空間では、今後の研究の有望な方向性が示唆されている。