[論文レビュー] Control of accuracy on Taylor-collocation method to solve the weakly regular Volterra integral equations of the first kind by using the CESTAC method

Samad Noeiaghdam, Denis Sidorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 38被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、不連続なカーネルを有する第1種弱正則ボルテラ積分方程式を解く際のテイラー・コロケーション法における精度制御フレームワークを提案する。従来の浮動小数点演算（FPA）に代わり、CESTAC法およびCADNAライブラリを用いた確率的算術を導入し、連続する反復値間の共通有効数字桁数（NCSDs）を停止基準として用いる。これにより、近似解と正確解の間のNCSDsがほぼ等しいことが証明され、正確解が未知であっても最適な反復、近似、誤差検出が可能となる。これにより、許容誤差εの調整や正確解の必要性が不要となる。

ABSTRACT

Finding the optimal parameters and functions of iterative methods is among the main problems of the Numerical Analysis. For this aim, a technique of the stochastic arithmetic (SA) is used to control of accuracy on Taylor-collocation method for solving first kind weakly regular integral equations (IEs). Thus, the CESTAC (Controle et Estimation Stochastique des Arrondis de Calculs) method is applied and instead of usual mathematical softwares the CADNA (Control of Accuracy and Debugging for Numerical Applications) library is used. Also, the convergence theorem of presented method is illustrated. In order to apply the CESTAC method we will prove a theorem that it will be our licence to use the new termination criterion instead of traditional absolute error. By using this theorem we can show that number of common significant digits (NCSDs) between two successive approximations are almost equal to NCSDs between exact and numerical solution. Finally, some examples are solved by using the Taylor-collocation method based on the CESTAC method. Several tables of numerical solutions based on the both arithmetics are presented. Comparison between number of iterations are demonstrated by using the floating point arithmetic (FPA) for different values of $\varepsilon$.

研究の動機と目的

• 第1種ボルテナ積分方程式の数値解法における最適パラメータと停止基準の選定という重要な課題に取り組む。
• 収束基準における未知の正確解や任意の許容誤差εに依存する浮動小数点演算（FPA）の限界を克服する。
• 不連続カーネルを有する弱正則ボルテナ積分方程式を解くための信頼性が高く自己検証可能な手法を確立する。
• 連続する近似解間のNCSDsが正確解との間のNCSDsにほぼ等しいことを理論的に証明する基盤を構築する。
• 数値例を通じて、FPAに比べCESTAC法が最適な反復と誤差検出をどのように達成するかを実証する。

提案手法

• 区分的連続カーネルを有する第1種ボルテナ積分方程式を解くために、テイラー・コロケーション法が適用される。
• 従来の浮動小数点演算（FPA）に代わり、CESTAC法による確率的算術（SA）を用いて数値精度を制御する。
• CADNAライブラリを用いて確率的算術を実装し、計算における数値的不安定性を検出する。
• 連続する反復値 vₙ と vₙ₋₁ 間の共通有効数字桁数（NCSDs）に基づく新しい収束基準が導入される。
• vₙ と vₙ₋₁ 間のNCSDsが、vₙ と正確解 v 間のNCSDsにほぼ等しいことを裏付ける理論的定理が証明される。
• 線形および非線形の例に対する数値実験を通じて、FPAとCESTACに基づくSAの結果を比較し、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CESTAC法は、正確解が未知であっても、テイラー・コロケーション法の信頼性が高く自己検証可能な停止基準を提供できるか？
• RQ2 連続する近似解間の共通有効数字桁数（NCSDs）と、近似解と正確解との間のNCSDsの関係は何か？
• RQ3 第1種ボルテナ積分方程式を解く際、浮動小数点演算（FPA）に比べ確率的算術（SA）が持つ利点は何か？
• RQ4 正確解が不明な状況下でも、CESTAC法は最適な反復、最適な近似、最適な誤差を検出できるか？
• RQ5 異なる許容誤差ε値に対して、FPAベースの手法と比較して、提案手法の収束速度と精度はどのように異なるか？

主な発見

• CESTAC法により、正確解が未知であっても最適な反復と最適な近似を正確に検出できる。
• 連続する近似解 vₙ と vₙ₋₁ 間の共通有効数字桁数（NCSDs）が、vₙ と正確解 v 間のNCSDsにほぼ等しいことが示され、新しい停止基準の有効性が裏付けられた。
• 例題4では、CESTAC法が n=9 で最適反復（誤差 3.2×10⁻³）を特定したが、FPAでは ε=10⁻⁵ で n=9 に停止したものの、より大きなε値では最適性を検出できなかった。
• 例題5では、CESTAC法が n=9 で最適収束（誤差 2×10⁻⁶）を達成したが、FPAでは ε=10⁻⁵ で n=6 に停止したものの、最適精度に到達していなかった。
• CESTACベースの手法は数値的不安定性を検出し、信頼性の高い誤差推定値を提供したのに対し、固定ε値を用いたFPAベースの手法はεの値に依存して一貫性のない結果を示した。
• 提案手法は許容誤差εに依存せず、正確解の必要性も不要であるため、実世界の応用においてより頑健で実用的である。