[論文レビュー] Control of Fractional-Order Chua's System

Ivo Petráš|ArXiv.org|Aug 22, 2000

Chaos control and synchronization参考文献 9被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、全次数が2.9である分数階Chuaシステムに対して、サンプリングデータフィードバック制御戦略を提案する。この手法により、離散時間コントローラーを用いてシステムの状態変数にデジタル制御を適用することで、カオスが抑制されることを示している。方法は、Grünwald-Letnikov定義による分数階微分の数値近似を用い、システムを原点に安定化させることに成功しており、特定のコントローラー定数とシステムダイナミクスを用いた数値シミュレーションにより、手法の有効性が検証されている。

ABSTRACT

This paper deals with feedback control of fractional-order Chua's system. The fractional-order Chua's system with total order less than three which exhibit chaos as well as other nonlinear behavior and theory for control of chaotic systems using sampled data are presented. Numerical experimental example is shown to verify the theoretical results.

研究の動機と目的

• 全次数が3未満の分数階動的システムにおけるカオス的挙動の制御可能性を検討すること。
• 従来、整数階システムに適用されてきた古典的カオス制御技術を、サンプリングデータフィードバックを用いて分数階システムへと拡張すること。
• サンプル状態測定を用いたデジタル制御が、カオス的分数階Chuaシステムを効果的に安定化させられることを示すこと。
• 現実的なシステムおよびコントローラー定数を用いた数値シミュレーションにより、理論的枠組みの妥当性を検証すること。
• システムの次数が微分の数にのみ依存するとする従来の概念に挑戦し、分数階微分がシステムダイナミクスにおける役割を強調すること。

提案手法

• 分数階Chuaシステムは、$ q = 0.9 $ の分数階微分を用いた状態方程式としてモデル化され、全システム次数が $ 2.9 $ に低下する。ここで $ 0 < q \leq 1 $ である。
• 分数階微分の数値近似にGrünwald-Letnikov定義を用い、メモリ長 $ L = 10 $ およびサンプリング周期 $ T = 0.01 $ s（100 Hz）を設定する。
• デジタルフィードバックコントローラーは状態空間形式で実装され、制御則は $ u_1(k+1) = 0.8u_1(k) - 3.3x_1(k) $ で定義され、間隔 $ kT $ でのサンプル状態測定値を用いる。
• 制御入力をシステムの第1状態方程式に適用し、動的特性を $ \frac{dx_1}{dt} = \alpha \,_{0}D^{1-q}_{t}(x_2 - x_1 - f(x_1)) + u_1(t) $ に変更する。他の状態に対しても同様に摂動が加えられる。
• 初期条件 $ (x_1(0), x_2(0), x_3(0)) = (0.2, -0.1, -0.01) $ および $ u_1(0) = 0 $ を用い、離散時間ステップでシステムをシミュレートする。
• 分数階微分の性質（線形性および整数階微分と可換性）を適用し、数値解法の整合性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全次数が3未満の分数階Chuaシステムにおけるカオス的挙動は、サンプリングデータフィードバックを用いて効果的に制御可能か？
• RQ2 分数階微分の使用は、整数階モデルと比較して、カオス的システムの安定性および制御設計にどのような影響を与えるか？
• RQ3 サンプル状態測定を用いたデジタル制御は、分数階カオス的システムの平衡状態への収束にどのような影響を与えるか？
• RQ4 分(piecewise-linear)非線形性を有する非線形分数階システムに対して、離散時間における単純な線形コントローラーが安定化を実現可能か？
• RQ5 Grünwald-Letnikov法による分数階微分の数値近似は、カオス的システムにおいて信頼性があり安定した制御性能をもたらすか？

主な発見

• 全次数2.9の分数階Chuaシステムのカオス的アトラクタは、サンプリングデータフィードバック制御により原点に成功して安定化された。
• Fig. 4に示すように、状態変数 $ x_1(t), x_2(t), x_3(t) $ は時間経過とともに漸近的にゼロに収束し、効果的な安定化が確認された。
• Fig. 5に示す制御信号 $ u_1(t) $ は、減衰する振動的パターンを示し、カオス的ダイナミクスを効果的に相殺していた。
• 安定収束をもたらすために実験的に決定されたコントローラー定数として、$ C = 0.8 $、$ D = -3.3 $、および $ B = \text{diag}(1,0,0) $ が得られた。
• $ L = 10 $ および $ T = 0.01 $ s を用いたGrünwald-Letnikov近似による数値手法は、分数階微分の安定的かつ正確なシミュレーションを可能にした。
• 結果から、全システム次数が3未満であっても、分数階システムにおけるカオス制御が可能であることが確認され、カオスに必要な最小次数に関する従来の仮定に挑戦するものとなった。