[論文レビュー] Control of three dimensional water waves

Hui Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所的な外部圧力下で表面張力を持つ三次元水波の正確な可制御性を確立し、任意に短い時間内に十分に小さく滑らかな初期状態と最終状態を接続できることを証明する。証明は、非線形準線形系を線形問題に帰着する反復スキームと、高周波数に対しては半古典的アプローチを組み合わせ、低周波数に対しては一意性とコンパクトネスの議論を用いる。制御領域に幾何的制御条件が成り立つことが条件である。

ABSTRACT

We study the exact controllability for spatially periodic water waves with surface tension, by localized exterior pressures applied to free surfaces. We prove that in any dimension, the exact controllability holds within arbitrarily short time, for sufficiently small and regular data, provided that the region of control satisfies the geometric control condition. This result was previously obtained by Alazard, Baldi, and Han-Kwan for 2-D water waves. Our proof combines an iterative scheme, that reduces the controllability of the original quasi-linear equation to that of a sequence of linear equations, with a semiclassical approach for the linear control problems.

研究の動機と目的

• トーラス上での表面張力を有する三次元水波の正確な可制御性を確立すること。
• Alazard, Baldi, and Han-Kwan の 2D 可制御性結果を高次元に拡張すること。
• 高次元では Ingham の不等式が成立しないことに対処するため、高周波数と低周波数の領域を区別すること。
• 幾何的制御条件の下で、小さな滑らかなデータに対して任意に短い時間内に可制御性を証明すること。
• 波の高さに平均ゼロの制約を課すことにより、ゼロ周波数モードの保存を保証すること。

提案手法

• 証明は、非線形準線形水波系を逐次線形制御問題に還元する反復スキームを用いる。
• 高周波数に対しては、Lebeau や Burq–Zworski の影響を受ける半古典的アプローチを線形化方程式に適用する。
• 低周波数に対しては、Bardos–Lebeau–Rauch の一意性とコンパクトネス法を用いて可制御性を確立する。
• 制御は空間的・時間的に局所化されており、外部圧力 $ P_{\mathrm{ext}} $ は $ \omega \subset \mathbb{T}^d $ に台を持つ。
• 解析は、Dirichlet–Neumann 演算子と表面張力効果を含む Zakharov/Craig–Sulem 形式の水波系に依拠する。
• エネルギー推定と正則性バウンドは、Sobolev 空間における擬微分作用素と作用素論を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面張力を有する三次元水波は、任意に短い時間内に局所的な外部圧力によって正確に制御可能か？
• RQ2 幾何的制御条件は、三次元水波系の可制御性において十分かつ必要条件か？
• RQ3 高次元における Ingham の不等式の欠如を、準線形 PDE の制御理論においてどのように克服できるか？
• RQ4 非線形水波系の可制御性において、平均曲率項 $ H(\eta) $ はどのような役割を果たすか？
• RQ5 Alazard, Baldi, and Han-Kwan の 2D 可制御性結果は、異なる解析的技法を用いて 3D に拡張可能か？

主な発見

• 十分に小さく滑らかな初期状態と最終状態に対して、表面張力を有する三次元水波は、任意に短い時間内に正確に可制御である。
• 幾何的制御条件は、可制御性において必要かつ十分であり、$ \mathbb{T}^d $ 内のすべての測地線が制御領域 $ \omega $ に最終的に到達することを保証する。
• 無限大深さの場合にも同様の証明が適用可能であるが、簡略化のため有限深さを想定する。
• 高周波数領域は半古典的法により制御され、低周波数領域は一意性とコンパクトネスの議論に依拠する。
• 制御圧力 $ P_{\mathrm{ext}} $ は $ C([0,T], H^s(\mathbb{T}^d)) $ に属し、$ \omega $ にコンパクトに台を持つ実数値関数として存在することが示された。
• 解 $ (\eta, \psi) $ は $ C([0,T], H^{s+1/2} \times H^s) $ において一意に存在し、初期状態と最終状態と一致する。