[論文レビュー] Control software analysis, part II: Closed-loop analysis

Éric Féron, Fernando Alegre|ArXiv.org|Dec 10, 2008

Formal Methods in Verification参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、制御理論とプログラム解析を統合することで、制御ソフトウェアの閉ループ安定性および性能を形式的に検証するための形式的手法を提案する。プラントとコントローラーの並列モデル化を採用し、2次形式のリャプノフ関数を用いて絶対安定性理論を適用し、例示により、飽和などのセクタ制限非線形性が不変楕円集合内での安定性を形式的に解析可能であることを示している。

ABSTRACT

The analysis and proper documentation of the properties of closed-loop control software presents many distinct aspects from the analysis of the same software running open-loop. Issues of physical system representations arise, and it is desired that such representations remain independent from the representations of the control program. For that purpose, a concurrent program representation of the plant and the control processes is proposed, although the closed-loop system is sufficiently serialized to enable a sequential analysis. While dealing with closed-loop system properties, it is also shown by means of examples how special treatment of nonlinearities extends from the analysis of control specifications to code analysis.

研究の動機と目的

• 非線形性（特にアクチュエータの飽和）が存在する状況下での閉ループ制御ソフトウェアの形式的検証におけるギャップを埋める。
• プラントとコントローラーの表現を独立して解析可能とすることで、モジュラリティと検証の柔軟性を向上させる。
• 第I部で提示されたオープンループソフトウェア解析を拡張し、システムレベルの安定性および性能保証を含める。
• 不揮発的または自動生成された制御ソフトウェアに対して、不変集合解析を用いて形式的フレームワークを提供する。
• セクタ非線形性やリャプノフ関数といった制御理論の概念をプログラム解析に統合し、検証可能なコード特性を実現する。

提案手法

• 閉ループシステムを、リアルタイムコントローラーと物理的プラントの2つの並列プロセスとしてモデル化する。
• サンプリングとゼロ次ホールドを用いて、プラントとコントローラーを離散時間ダイナミクスとして表現し、等価な離散時間システム解析を可能にする。
• 飽和非線形性下での安定性を証明するために、2次形式のリャプノフ関数 $ V(x) = x^T P x $ を用いて絶対安定性理論を適用する。
• セクタ制限非線形性 $ \mathbf{SAT}(Cx) $ を処理するためにS手続きを用い、安定性条件を線形行列不等式（LMI）に変換する。
• シュール補行列と行列変換を用いて、集合 $ \mathcal{E}_P $ の不変性の十分条件を導出する。これにより、リャプノフ関数の減少が保証される。
• コントローラーの仕様からコードレベルの不変条件へ至る証明チェーンを構築し、安定性および有界性の形式的検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め込み制御ソフトウェアにおけるアクチュエータの飽和といった非線形性が存在する状況下で、制御系の安定性をどのように形式的に検証できるか。
• RQ2 プラントとコントローラーの表現を分離可能とする形式的手法は何か。ただし、閉ループ系の特性を保持することが条件である。
• RQ3 リャプノフに基づく安定性解析を、プログラムの状態およびコードアノテーションに体系的にマッピングすることで、ソフトウェア検証を可能にする方法は何か。
• RQ4 前向き解析の文脈において、セクタ制限非線形性をどのように形式的に扱えるか。
• RQ5 不揮発的または自動生成された制御ソフトウェアに対して、安定性の機械検証可能な証明を生成する際の実現可能性と構造は何か。

主な発見

• 与えられた行列 $ P $ を用いた2次形式のリャプノフ関数 $ V(x) = x^T P x $ が、コントローラーが静止状態にあり、プラント状態が楕円 $ \mathcal{E}_Q $ 内にある初期条件において、すべての軌道に沿って減少することが示された。これにより、局所的安定性が証明された。
• 初期プラント状態の集合 $ x_{p,0} \in \mathcal{E}_Q $ が不変集合 $ \mathcal{E}_P $ に含まれることを示し、閉ループ系の有界性を保証した。
• 安定性条件が行列不等式 $ \tilde{P} = P - 0.16\mu C^T C $ を含む形に簡略化され、シュール補行列および行列逆行列技術を用いて検証された。
• 解析結果は古典的な絶対安定性の結果と等価であることが示され、本手法の理論的妥当性が裏付けられた。
• 本フレームワークにより、ドキュメント化済みおよび不揮発の制御ソフトウェア、ならびに自動生成された実装に対しても、安定性の形式的検証が可能となった。
• 本手法は自動生成パイプラインへの統合を支援し、安定性証明を埋め込んだ検証可能で自動生成されたCコードの生成を可能にした。