[論文レビュー] Control Synthesis for Nonlinear Optimal Control via Convex Relaxations

Pengcheng Zhao, Shankar Mohan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2016

Advanced Control Systems Optimization参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、状態制約および入力制約を伴う非線形最適制御問題に対して最適制御則を合成するための凸緩和ベースの手法を提案する。無限次元線形計画法（LP）として測度の空間上に問題を定式化し、多項式の動的およびコスト関数に対してモーメント行列と局所化行列を用いて、有限次元の半定値計画（SDP）の階層に緩和することで、それを解く。このアプローチにより、最適制御が不連続であっても真の最適制御に収束する多項式制御則が得られ、最適コストの証明可能な収束下界を提供する。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of control synthesis for nonlinear optimal control problems in the presence of state and input constraints. The presented approach relies upon transforming the given problem into an infinite-dimensional linear program over the space of measures. To generate approximations to this infinite-dimensional program, a sequence of Semi-Definite Programs (SDP)s is formulated in the instance of polynomial cost and dynamics with semi-algebraic state and bounded input constraints. A method to extract a polynomial control function from each SDP is also given. This paper proves that the controller synthesized from each of these SDPs generates a sequence of values that converge from below to the value of the optimal control of the original optimal control problem. In contrast to existing approaches, the presented method does not assume that the optimal control is continuous while still proving that the sequence of approximations is optimal. Moreover, the sequence of controllers that are synthesized using the presented approach are proven to converge to the true optimal control. The performance of the presented method is demonstrated on three examples.

研究の動機と目的

• 状態制約および入力制約を伴う非線形最適制御問題における制御則合成の課題に対処すること。
• 最適制御の連続性を仮定しない凸最適化フレームワークを構築し、真の最適制御に収束すること。
• SDP緩和から得られる多項式制御則を生成可能な数値的に実行可能な手法を提供すること。
• SDP緩和から得られる制御則の列が真の最適制御に収束することを証明すること。
• ダブルインテグレータやデュビンスカーを含むベンチマーク非線形系において、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 最適制御問題を、非負の測度の空間上での無限次元線形計画法（LP）として再定式化し、特に占有測度を用いる。
• 多項式の動的およびコスト関数を用いて、モーメント行列と局所化行列を導入することで、無限次元LPの緩和として有限次元の半定値計画（SDP）の階層を構築する。
• Lasserreのモーメント-SOS階層を用いて無限次元LPを近似し、標準的なSDPソルバを用いた数値的解法を可能にする。
• 各SDP緩和の解から多項式フィードバック制御則を回復するための制御抽出手順を開発する。
• 最適制御の弱い定式化と、占有測度とテスト関数の間の双対性を活用し、最適性の性質を保持する。
• 最適制御が不連続であっても、弱い仮定の下で制御則の列が真の最適制御に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形系に状態制約および入力制約を伴う最適制御問題に対して、凸緩和アプローチを用いて最適制御則を合成可能か？
• RQ2 提案手法は、最適制御が不連続であっても、合成された制御則が真の最適制御に収束することを保証するか？
• RQ3 無限次元LPのSDP緩和から、多項式制御則を効果的に抽出可能か？
• RQ4 SDP緩和は、最適コストの下界と最適制御の収束近似の両方をどのように提供するか？
• RQ5 非多項式の動的特性（例：デュビンスカー）を、局所近似により本手法に適用可能か？

主な発見

• 最適制御が不連続であっても、SDP緩和から得られる制御則の列が真の最適制御に収束することを示し、連続性の仮定を必要としない手法に比べ顕著な改善を示す。
• 最適コストの下界の列が、真の最適値に単調に収束することを提供する。
• 自由端末時刻を伴うダブルインテグレータ系において、緩和度が高くなる（2k = 6, 8, 12）につれて、本手法の制御入力と軌道が解析的に計算された最適解とよく一致する。
• ダブルインテグレータのLQR版において、2k = 6, 8, 12の結果が標準的なLQR解に収束し、二次コスト関数における精度を示している。
• 動的特性が非多項式のデュビンスカー・モデルに対しても、動的特性の2次テイラー近似を用いることで、妥当で収束する制御則を効果的に得られた。
• 制御抽出手法により、SDPの解から多項式フィードバック則を効果的に生成でき、合成された制御則の実装が可能になった。