[論文レビュー] Control theory for the Burgers equation: Agrachev-Sarychev approach

Armen Shirikyan|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、1次元バーガース方程式にアグラチェフ＝サリチェフ法を適用し、2次元の外部力による近似可制御性を示し、有限次元関数への正確可制御性を証明している。このアプローチにより、凸化と緩和技術を用いて一様近似可制御性を確立し、L²空間における関数と軌道の同時制御に拡張している。

ABSTRACT

This paper is devoted to a description of a general approach introduced by Agrachev and Sarychev in 2005 for studying some control problems for Navier-Stokes equations. The example of a 1D Burgers equation is used to illustrate the main ideas. We begin with a short discussion of the Cauchy problem and establish a continuity property for the resolving operator. We next turn to the property of approximate controllability and prove that it can be achieved by a two-dimensional external force. Finally, we investigate a stronger property, when the approximate controllability and the exact controllability of finite-dimensional functionals are proved simultaneously.

研究の動機と目的

• 1次元バーガース方程式をモデル例として用いて、制御理論におけるアグラチェフ＝サリチェフのアプローチを説明すること。
• 2次元外部制御力によるバーガース方程式の近似可制御性を確立すること。
• 有限次元関数と軌道の同時正確可制御性を証明すること。
• 制御空間における緩和と凸化を用いて、一様可制御性を拡張すること。
• 主な解析的道具とそれらの非線形偏微分方程式への応用に焦点を当て、この方法の自己完結的な解説を提供すること。

提案手法

• バーガース方程式の解法作用素を用いて、緩和ノルムにおける連続性と適切に定義された問題の性質を分析する。
• 凸化技術を適用して制御集合を拡張し、弱位相における近似可制御性を達成する。
• 繰り返し制御作用を適用することで、稠密な制御集合を生成する飽和論法を用いる。
• 1に合計する非負の連続係数を用いた制御関数の区分的定数近似を利用する。
• 無限次元制御問題を有限次元部分空間に還元するため、有限次元近似（命題4.1）を適用する。
• 像が滑らかな関数の有限次元部分空間に含まれる制御写像を構成し、所望の軌道を一様に近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アグラチェフ＝サリチェフ法は、2次元制御力による1次元バーガース方程式の近似可制御性を達成できるか？
• RQ2 状態の近似可制御性と有限次元関数の正確可制御性を同時に達成することは可能か？
• RQ3 制御空間における緩和と凸化を用いて、一様近似可制御性をどのように確立できるか？
• RQ4 弱収束下での可制御性の証明において、解法作用素の連続性が果たす役割は何か？
• RQ5 事前に適切に定義された問題でない系に対しても、この方法を拡張できるか？

主な発見

• バーガース方程式の解法作用素は緩和ノルムにおいて連続であり、制御の弱収束下でも解の安定性が保証される。
• 2次元外部力による近似可制御性が達成され、制御空間は有限次元である。
• L²のコンパクト部分集合に属する任意の初期状態と目標状態に対して、有限次元部分空間内の制御を用いて解を任意に近くに誘導できる。
• 関数の値を保存する制御を構成することで、有限次元関数の正確可制御性が証明される。
• 滑らかな関数の有限次元部分空間に値をとる連続的制御写像を用いて、一様近似可制御性が確立される。
• 任意の連続的制御写像は、1に合計する非負の係数を持つ区分的定数制御で近似可能であり、実装に適している。