[論文レビュー] Controllability for a population equation with interior degeneracy

Genni Fragnelli|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Carleman推定とカットオフ関数を用いて、拡散係数に内部特異性を有する集団モデルのゼロ制御可能性を確立する。制御領域が特異点 $x_0$ の両側に分断されている場合でも、空間領域の内部でゼロ制御が存在することを証明し、$T < A$ または $T > A$ の場合の先行研究を完成させる。主な結果は、初期データに関して一様な制御ノルムの評価であり、弱くおよび強く特異な場合の両方に適用可能である。

ABSTRACT

We deal with a degenerate model in divergence form describing the dynamics of a population depending on time, on age and on space. We assume that the degeneracy occurs in the interior of the spatial domain and we focus on null controllability. To this aim, first we prove Carleman estimates for the associated adjoint problem, then, via cut off functions, we prove the existence of a null control function localized in the interior of the space domain. We consider two cases: either the control region contains the degeneracy point $x_0$, or the control region is the union of two intervals each of them lying on one side of $x_0$. This paper complement some previous results, concluding the study of the subject.

研究の動機と目的

• 拡散係数 $k(x)$ に内部特異性（$k(x_0) = 0$ となる $x_0 \in (0,1)$ が存在）を有する集団モデルのゼロ制御可能性を確立すること。
• 制御領域が $x_0$ を含む単一の区間であるか、$x_0$ の両側に分離した二つの不連続区間であるかを許容するように、先行研究の結果を拡張すること。
• $T < A$ および $T > A$ の両方のケースを扱い、このようなモデルの制御可能性の研究を完成させること。
• 弱くおよび強く特異な場合の両方に適用可能な一様な枠組みを、Carleman推定とカットオフ関数を用いて構築すること。
• 出生率 $\beta$ に対する制限的仮定および $k$ の正則性を緩和し、以前の研究で要求された $C^2$ 正則性や境界特異性の仮定を排除すること。

提案手法

• 内部特異性に対応する重み関数を用いて、特異集団方程式に関連する随伴問題に対するCarleman推定を導出する。
• 空間領域の内部に制御を局所化するためのカットオフ関数を構築し、制御が $\omega \subset (0,1)$ のみに作用することを保証する。
• 随伴問題の観測可能性不等式を用いて、双対性の議論によりゼロ制御可能性を導出する。
• $(x - x_0)k' \leq Mk$ が $[0,1]$ 上 almost everywhere で成り立つことなどの構造的条件を満たすように、弱くおよび強く特異な場合を区別して取り扱う。
• 密度補間を用いて、滑らかでない初期データから $L^2$ 初期データへの制御可能性結果を拡張する。
• エネルギー推定と変数変換を用いて、解を制御と初期データの項で評価し、制御ノルムの均一な評価を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部特異性を有する拡散係数を有する集団方程式について、制御領域が特異点の両側に分断されている場合でもゼロ制御可能性が達成可能か？
• RQ2 $T < A$ および $T > A$ の両方のケースで、$T \geq A$ を仮定しないまま、ゼロ制御可能性の結果が成り立つか？
• RQ3 特異点 $x_0$ が制御領域に含まれない場合でも、空間領域の内部に制御を局所化することは可能か？
• RQ4 弱くおよび強く特異な場合の両方に共通して、初期データに関して一様な制御ノルムの評価を確立することは可能か？
• RQ5 本稿で用いられた手法は、非発散型形式の偏微分方程式や境界特異性のケースに拡張可能か？これにより、先行研究を完全に補完できるか？

主な発見

• 内部特異性を有する特異集団方程式のゼロ制御可能性が、$T < A$ または $T > A$ のいかなる場合でも確立された。
• $T < A$ の場合、任意の $\delta \in (T, A)$ に対して、$f_\delta \in L^2(Q)$ が存在し、解 $y_\delta(T, \cdot, \cdot) = 0$ が $(\delta, A) \times (0,1)$ 上 almost everywhere で成り立つ。$A < T$ の場合、$\delta \in (\bar{a}, A)$ に対して同様の結果が成り立つ。
• 制御ノルムは $\|f_\delta\|_{L^2(Q)} \leq C(\delta)\|y_0\|_{L^2(Q_{A,1})}$ を満たし、$C(\delta)$ は $\delta$ のみに依存するため、一様安定性が保証される。
• 弱くおよび強く特異な拡散係数 $k$ の両方に対して、それぞれの構造的条件を満たす場合に結果が成り立つ。
• Carleman推定とカットオフ関数を用いる手法は、頑健であり、非発散型形式方程式や境界特異性のケースに容易に適応可能であり、先行研究を完全に補完する。
• 観測可能性不等式 (4.46) は、定数 $C(\delta)$ が $\delta$ に依存することを示した。これは、以前の研究で $C$ が絶対定数であると誤って主張された誤植を是正するものである。