[論文レビュー] Controllability, Observability, Realizability, and Stability of Dynamic Linear Systems

John M. Davis, Ian Gravagne+2 more|ArXiv.org|Jan 23, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用数 67

ひとこと要約

本稿は、非一様な時間スケール上での動的線形系について、連続的および離散的ケースに拡張された古典的な可制御性、可観測性、実現可能性、安定性の概念を統一する線形システム理論を構築する。一般化されたラプラス変換法を用いて、可制御性の必要十分条件として、可制御性グラミアンの逆行列可能性とランク条件を確立し、定常系において可制御性と可観測性が成り立つ場合に、BIBO安定性と指数的安定性が同値であることを証明する。

ABSTRACT

We develop a linear systems theory that coincides with the existing theories for continuous and discrete dynamical systems, but that also extends to linear systems defined on nonuniform time domains. The approach here is based on generalized Laplace transform methods (e.g. shifts and convolution) from our recent work \cite{DaGrJaMaRa}. We study controllability in terms of the controllability Gramian and various rank conditions (including Kalman's) in both the time invariant and time varying settings and compare the results. We also explore observability in terms of both Gramian and rank conditions as well as realizability results. We conclude by applying this systems theory to connect exponential and BIBO stability problems in this general setting. Numerous examples are included to show the utility of these results.

研究の動機と目的

• 非一様な時間スケール上での動的系について、可制御性、可観測性、実現可能性、安定性をカバーする古典的線形システム理論を統一的かつ拡張すること。
• 非一様なグレインネス下で失敗する従来の手法の限界を克服するため、一般化されたラプラス変換技術を用いること。
• 時間変動および定常系の両設定において、可制御性グラミアンとランク条件を用いた可制御性の必要十分条件を確立すること。
• 定常系において可制御性と可観測性が成り立つ場合に、BIBO安定性と指数的安定性が同値であることを証明すること。
• 時間スケールの安定性領域内に極が存在するかどうかに基づいて、BIBO安定性を伝達関数の特徴づけで与えること。

提案手法

• 有界なグレインネスを持つ任意の時間スケール上でのシステム解析に、一般化されたラプラス変換法（シフトおよび畳み込みを含む）を用いる。
• 遷移行列 $ \Phi_A $ を用いて、可制御性グラミアンを $ \mathscr{G}_{C}(t_0,t_f) = \int_{t_0}^{t_f} \Phi_A(t_0,\sigma(t)) B(t) B^T(t) \Phi_A^T(t_0,\sigma(t)) \Delta t $ と定義する。
• 再帰的系の解を表すために、遷移行列 $ \Phi_A(t,t_0) $ および行列指数関数 $ e_A(t,0) $ を用いる。
• 時間領域の挙動を解析するため、行列表現 $ Ce_A(t,0)B = \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^{\psi_k} N_{kj} \frac{f_{j-1}(\mu,\lambda_k)}{(j-1)!} e_{\lambda_k}(t,0) $ を用いる。
• 伝達関数 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ の部分分数分解を用いて、安定性領域 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 内の極の位置を分析することで安定性を評価する。
• 背理法と $ Ce_A(t,0)B $ の時間微分解析を用いて、インパulse応答の減衰が行列指数関数の指数的減衰を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様な時間スケール上での時間変動線形系において、グラミアンとランク条件を用いて可制御性をどのように特徴づけられるか？
• RQ2 時間スケール上での動的系の文脈において、可観測性と実現可能性を保証する条件は何か？
• RQ3 非一様な時間スケール上での定常系において、BIBO安定性と指数的安定性が同値となる条件は何か？
• RQ4 伝達関数 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ を用いて、極の位置に基づいてBIBO安定性をどのように決定できるか？
• RQ5 一般化されたラプラス変換は、任意の時間スケール上での連続的および離散的システム理論を統一するために果たす役割は何か？

主な発見

• 可制御性グラミアン $ \mathscr{G}_C(t_0,t_f) $ が可逆であることは、区間 $[t_0,t_f]$ におけるシステムの可制御性と同値である。
• 定常系では、指数的安定性がBIBO安定性を含むが、可制御性と可観測性が成り立つ場合、BIBO安定性は指数的安定性を含む。
• 伝達関数 $ G(z) = C(zI - A)^{-1}B $ のすべての極が時間スケールの安定性領域 $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 内にあるとき、かつそのときに限り、システムはBIBO安定である。
• インパulse応答 $ Ce_A(t,0)B $ が $ t \to \infty $ でゼロに収束するための必要十分条件は、$ A $ のすべての固有値 $ \lambda_k $ が $ \mathcal{S}(\mathbb{C}) $ 内にあることである。これは指数的安定性を保証する。
• 行列指数関数 $ e_A(t,0) $ が $ t \to \infty $ でゼロに近づくのは、システムが指数的安定であるとき、かつそのときに限り、これは $ \mathscr{G}_O^a e_A(t,0) \mathscr{G}_C^a $ の減衰から導かれる。
• グレインネスが定数でない場合でも有効なままとなるラプラスに基づく手法を用いることで、先行研究における誤りを回避している。