[論文レビュー] Controllability of 3D Low Reynolds Swimmers

Jérôme Lohéac, Alexandre Munnier|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Micro and Nano Robotics参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ストークス方程式に従う3次元マイクロスイマーの可動性を確立し、任意の軌道を形状変形によって追跡可能であることを証明している。これは、巨視的形状変化に任意に小さな摂動を重ねても成立する。さらに、フリースタイルスイミングには4つの一般的な基本的変形で十分であり、一般のコスト関数に対する最適スイミング戦略の存在を示している。

ABSTRACT

In this article, we consider a swimmer (i.e. a self-deformable body) immersed in a fluid, the flow of which is governed by the stationary Stokes equations. This model is relevant for studying the locomotion of microorganisms or micro robots for which the inertia effects can be neglected. Our first main contribution is to prove that any such microswimmer has the ability to track, by performing a sequence of shape changes, any given trajectory in the fluid. We show that, in addition, this can be done by means of arbitrarily small body deformations that can be superimposed to any preassigned sequence of macro shape changes. Our second contribution is to prove that, when no macro deformations are prescribed, tracking is generically possible by means of shape changes obtained as a suitable combination of only four elementary deformations. Eventually, still considering finite dimensional deformations, we state results about the existence of optimal swimming strategies for a wide class of cost functionals.

研究の動機と目的

• 3次元マイクロスイマーがストークス流体内で自己変形によって任意の軌道を追跡可能かどうかを特定すること。
• このような可動性が、事前に指定された巨視的形状変化に任意に小さな形状変化を重ねて達成可能かどうかを調査すること。
• 巨視的運動が規定されていない状況下で、一般の軌道追跡を達成するために必要な最小限の基本的形状変形の数を特定すること。
• エネルギーまたは時間最小化などの広範なコスト関数に対して最適スイミング戦略の存在を確立すること。

提案手法

• スイマーは単位球の$C^1$-微分同相変形としてモデル化され、形状変化は$\vartheta_t \in W^{1,1}([0,T], D^1_0(\mathbb{R}^3))$でパrameter化される。
• 流体の力学的力と流れは、体固定座標系における定常ストークス方程式に従い、変形スイマー表面$\Sigma_t = \Theta_t(\Sigma)$上で境界条件が定義される。
• 変数変換$\varUpsilon = \text{Id} + \xi$を用いて問題を参照領域に写像し、重み付きソボレフ空間とトレース定理を用いた解析が可能になる。
• 流体-構造連成問題の解の存在と正則性は、重み付きソボレフ空間間の双連続同型写像と、変形領域におけるストークス問題の使用によって確立される。
• 幾何的制御理論が、形状変形によって定義される制御系の構造を活用して可動性を分析するために用いられる。
• 弱収束列における$W^{1,1}$のコンパクト性と下半連続性の議論を用いて、最適スイミング戦略の存在が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストークス流体内に存在する自己変形可能なマイクロスイマーが、形状変化のみを用いて3次元空間内の任意の所定の軌道を追跡可能か？
• RQ2 任意に小さな形状変化を、事前に指定された巨視的形状変化列に重ねて、軌道追跡を達成可能か？
• RQ3 巨視的変形が規定されていないフリースタイルスイミング状態（「フリースタイルスイミング」）において、一般の可動性を達成するために必要な最小限の基本的形状変形の数は何か？
• RQ4 エネルギー最小化や時間最小化などの広範なコスト関数に対して、最適スイミング戦略が存在するか？

主な発見

• スイマーの運動を支配する力学系は可動性を持つ：任意の$\mathbb{R}^3 \times \text{SO}(3)$内の所定の軌道に対して、スイマーをその軌道に任意に近づける形状変化の系列が存在する。
• 可動性は、任意に小さな形状変化を用いて達成可能であり、これは任意に事前に指定された巨視的形状変化列に重ねて適用可能である。この現象は「同期スイミング」と呼ばれる。
• フリースタイルスイミング状態（巨視的変形なし）では、4つの一般的な基本的変形が十分であり、これらがややこわい横断的条件を満たしていれば、可動性が達成される。
• エネルギー、時間、または変位を含む広範なコスト関数に対して、最適スイミング戦略の存在が証明された。
• 流体-構造連成問題の解作用素が双連続同型写像であることが示され、形状変動に対して適切に定義され、安定性が保証される。
• 解析は、固定された参照領域への変数変換と、変形形状でも正則性と強制性を保つ重み付きソボレフ空間の使用に依存している。