[論文レビュー] Controllability of networks of one-dimensional second order p.d.e. - An algebraic approach

Frank Woittennek, Hugues Mounier|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンpactなsupporthを持つMikusiński作用素の部分環 $\mathcal{R}$ 上の有限生成モジュールとしてモデル化することにより、境界結合を伴う1次元2階PDEネットワークにおける可制御性を代数的アプローチで分析する。$\mathcal{R}$ がBézout整域であることを証明し、自由部分モジュールと torsion 部分モジュールへの分解を可能にした。また、アルゴリズム的イデアル生成子計算を通じて、モジュール論的および軌道に基づく可制御性結果を確立した。

ABSTRACT

We discuss controllability of systems that are initially given by boundary coupled p.d.e. of second order. Those systems may be described by modules over a certain subring R of the ring of Mikusinski operators with compact support. We show that the ring R is a Bezout domain. This property is utilized in order to derive algebraic and trajectory related controllability results.

研究の動機と目的

• 境界結合を伴う1次元2階PDEネットワークにおける可制御性を分析するための代数的フレームワークを構築すること。
• 得られる畳み込み系の係数環 $\mathcal{R}$ を特徴づけ、その構造的性質を確立すること。
• 代数的性質 $\mathcal{R}$ を用いて、モジュール論的および軌道に基づく可制御性結果を導出すること。
• 遅延系に関する先行研究にインspiredされた、$\mathcal{R}$ 内の任意の有限生成イデアルの生成子を計算するアルゴリズム的手法を提供すること。

提案手法

• 空間におけるコーシー問題の一般解を用いて、PDEネットワークを畳み込み方程式系としてモデル化する。
• システムを、コンpactなsupporthを持つMikusiński作用素の部分環 $\mathcal{R}$ 上の有限生成モジュールとして表現する。
• $\mathcal{R}$ がBézout整域であることを証明する。すなわち、任意の有限生成イデアルが単項イデアルであることを示す。
• $\mathcal{R}$ 内の任意の有限生成イデアルの生成子を計算するアルゴリズムを開発し、遅延作用素環の技法を拡張する。
• Bézout性質を活用して、システムモジュールを自由部分モジュールと torsion 部分モジュールに分解する。
• 代数的モジュール論的性質を用いて、自由部分モジュールの軌道的および行動的可制御性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1D2階PDEネットワークに関連する畳み込み系の係数環 $\mathcal{R}$ はBézout整域か？
• RQ2 $\mathcal{R}$ 内の任意の有限生成イデアルの生成子を計算するアルゴリズムを構築可能か？
• RQ3 $\mathcal{R}$ のBézout性質により、システムモジュールが自由および torsion 成分に分解可能か？
• RQ4 システムモジュールの自由部分モジュールは、[15] の意味で軌道的可制御性を有するか？
• RQ5 システムモジュールの自由部分モジュールは、[45] の意味で行動的可制御性を有するか？

主な発見

• $\mathcal{R}$ は、コンpactなsupporthを持つMikusiński作用素の部分環として、Bézout整域であることが証明された。これにより、任意の有限生成イデアルが単項イデアルであることが保証される。
• $\mathcal{R}$ 内の任意の有限生成イデアルの生成子を計算するアルゴリズムが開発され、遅延系の手法が一般化された。
• システムモジュールは、$\mathcal{R}$ のBézout性質を活用して、自由部分モジュールと torsion 部分モジュールに分解可能である。
• 自由部分モジュールは、軌道的可制御性を有することが示された。これは、オープンループ制御により軌道を所望の経路に誘導可能であることを意味する。
• 自由部分モジュールは、Willemsの意味で行動的可制御性を有しており、すべての軌道をパrametrizationで表現可能であることが確認された。
• 2分岐PDEネットワークの例を用いた数値的検証により、本手法の実用的応用可能性が示された。