[論文レビュー] Controllability of the Strongly Damped Impulsive Semilinear Wave Equation with Memory and Delay

Cristi Guevara, Hugo Leiva|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固定点定理に依存しない新しい手法を用いて、記憶項、インパulse、遅れを有する強く減衰する非線形波動方程式の近似的可制御性を確立している。A.E. Bashirov らの手法を応用し、遅れを用いて短時間の区間内で制御解を固定曲線に沿って誘導することにより、記憶項とインパulse効果によって生じる有界でない制御列の存在にもかかわらず、任意の所望の最終状態に限りなく近づけることができることを証明している。

ABSTRACT

This article is devoted to study the interior approximated controllability of the strongly damped semilinear wave equation with memory, impulses and delay terms. The problem is challenging since the state equation contains memory and impulsive terms yielding to potential unbounded control sequences steering the system to a neighborhood of the final state, thus fixed point theorems cannot be used directly. As alternative, the A.E Bashirov and et al. techniques are applied and together with the delay allow the control solution to be directed to fixed curve in a short time interval and achieve our result.

研究の動機と目的

• 有界領域における記憶項、インパulse、時間遅れを有する強く減衰する非線形波動方程式の近似的可制御性を調査すること。
• 記憶項とインパルス項が有界でない制御列を生じるため、固定点定理の直接適用が不可能であるという課題に対処すること。
• 有界な制御入力を用いて、システムを所望の最終状態に限りなく近づけることができる制御戦略を開発すること。
• 記憶、インパルス、遅れの併存する系に対する既存の可制御性結果を拡張すること。

提案手法

• A.E. Bashirov らの研究に基づく固定点定理に依存しない手法を用い、有界でない制御列の下でも失敗する固定点定理への依存を回避している。
• 短時間の区間（最終時刻付近）において、システムを固定曲線に沿って誘導する時間遅れフィードバック機構を用いて制御解を定義している。
• 状態空間 $\mathcal{Z}^{1/2} = D((-Δ)^{1/2}) \times L^2(\Omega)$ を用いたヒルベルト空間設定において、強連続半群によって記述される時間発展を再定式化している。
• 変数定数の公式を用いて、分散制御 $u$、記憶積分項 $\int_0^t M(t,s)g(w(s-r,x))ds$、非線形項 $f$ を含む弱解を構成している。
• 制御入力 $u_\alpha^\delta$ を設計し、最終時刻区間 $[\tau - \delta, \tau]$ においてシステムを制御することで、目標状態との距離が $\epsilon$ 以内に収束することを保証している。
• 作用素ノルムおよび非線形項の推定を用いて、制御解と目標状態との距離を評価し、近似的可制御性を証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記憶項とインパルス効果によって生じる有界でない制御列が存在するにもかかわらず、記憶項、インパルス、遅れを有する強く減衰する非線形波動方程式は近似的に可制御であるか？
• RQ2 A.E. Bashirov らの固定点定理に依存しない手法は、この文脈において標準的な固定点定理の代替として有効であるか？
• RQ3 遅れ項を活用して、短時間の区間内で制御解を固定曲線に沿って誘導することで、近似的可制御性を達成できるか？
• RQ4 記憶項とインパルス摂動が併存する場合でも、近似的可制御性は保持されるか？
• RQ5 提案手法は、類似の特徴を有する他の非線形進化方程式のクラスへ一般化可能か？

主な発見

• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、空間 $\mathcal{Z}^{1/2}$ においてシステムは近似的に可制御であり、解を任意の所望の最終状態の $\epsilon$-近傍にまで誘導可能である。
• 制御戦略は、時間遅れフィードバック機構を用いることで固定点定理を回避し、有界性と収束性を保証している。
• 制御解 $z^{\delta,\alpha}(\tau)$ と目標状態 $z_1$ の距離は $\epsilon$ 以下に抑えられ、$\|z^{\delta,\alpha}(\tau) - y^{\delta,\alpha}(\tau)\| < \epsilon/2$ および $\|y^{\delta,\alpha}(\tau) - z_1\| < \epsilon/2$ を満たす。
• 本手法は、記憶項、インパルス、遅れの影響に対してもロバストであり、これらの効果が存在しても有界な制御列が構成可能であることが示されている。
• 本手法は、記憶項と遅れを有するインパルス的非線形ビーム方程式や、ヒルベルト空間におけるより一般的な非線形進化方程式へも拡張可能である。
• 非線形項がリプシッツ型の境界 $|f(t,w,v,u)| \leq a_0\sqrt{|w|^2 + |v|^2} + b_0$ を満たすという仮定の下で、解の存在性と一意性を保証する十分な正則性が確保される。