[論文レビュー] Controllable Subsets in Graphs

Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Graph theory and applications参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、グラフにおける制御可能部分集合の理論を導入し、$S$ の特性ベクトルを $z$ とするとき、ウォーク行列 $W_S = [z, Az, \ldots, A^{v-1}z]$ が正則である場合に、ペア $(X,S)$ を制御可能と定義する。主な貢献は、制御可能性が隣接行列のすべての固有値が単純であること、および $S$ を保存する唯一の自己同型が恒等写像であることと関連していることであり、スペクトル的および代数的特徴づけを通じて、グラフ理論と制御理論を結びつける。

ABSTRACT

Let $X$ be a graph on $v$ vertices with adjacency matrix $A$, and let let $S$ be a subset of its vertices with characteristic vector $z$. We say that the pair $(X,S)$ is controllable if the vectors $A^rz$ for $r=1,\ldots,v-1$ span $\mathbb{R}^v$. Our concern is chiefly with the cases where $S=V(X)$, or $S$ is a single vertex. In this paper we develop the basic theory of controllable pairs. We will see that if $(X,S)$ is controllable then the only automorphism of $X$ that fixes $S$ as a set is the identity. If $(X,S)$ is controllable for some subset $S$ then the eigenvalues of $A$ are all simple.

研究の動機と目的

• グラフ-部分集合ペア $(X,S)$ の制御可能性の概念を形式化・分析し、制御理論のアイデアをグラフへと拡張する。
• スペクトル分解と有理関数を用いて、制御可能性の必要十分条件を確立する。
• 制御可能性が、すべての固有値が単純であり、$S$ を保存する唯一の自己同型が恒等写像であるといった強い構造的制約を意味することを示す。
• 行列代数や動的システムにおける可観測性を含む、代数的構造とグラフ的制御可能性を結びつける。

提案手法

• 部分集合 $S$ の特性ベクトルを $z$ とするとき、ウォーク行列 $W_S = [z, Az, \ldots, A^{v-1}z]$ の正則性によって、ペア $(X,S)$ の制御可能性を定義する。
• スペクトル分解 $A = \sum \theta E_\theta$ を用いて、$\operatorname{col}(W_S)$ が $E_\theta z$ の線形包で生成されることを示し、制御可能性が $z$ のサポートに属する異なる固有値の数と関連することを示す。
• 有理関数 $z^T(tI - A)^{-1}z$ を用いて制御可能性を特徴づけ、$(X,S)$ が制御可能であることと、この関数が $v$ 個の異なる極を持つこととが同値であることを証明する。
• $A$ と $zz^T$ が全行列代数を生成することと制御可能性が同値であることを確立し、$0 \leq i,j < v$ に対して $A^i z z^T A^j$ が線形独立であることを利用する。
• 同型不変性を適用する：二つのペア $(X,y)$ と $(Y,z)$ が同型であることと、$A$ と $B$ が相似であり、かつ有理関数 $y^T(tI - A)^{-1}y$ と $z^T(tI - B)^{-1}z$ が等しいこととが同値である。
• ウォーク行列を制御可能性行列、有理関数を伝達関数と解釈することで、制御理論への接続を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ-部分集合ペア $(X,S)$ が、ウォーク行列 $W_S$ の正則性によって定義される制御可能であるための条件は何か？
• RQ2 制御可能性がグラフの自己同型群に与える制約は何か、特に部分集合 $S$ との関係においては？
• RQ3 $(X,S)$ が制御可能であるためには、隣接行列 $A$ がどのようなスペクトル的性質を満たすべきか、特に固有値の重複度に関しては？
• RQ4 制御可能性の概念をラプラシアン行列や辺の変更へとどのように拡張できるか？
• RQ5 行列 $A$ と $zz^T$ が全行列代数 $\mathrm{Mat}_{v \times v}(\mathbb{R})$ を生成するための正確な代数的条件は何か？

主な発見

• グラフ-部分集合ペア $(X,S)$ が制御可能であるための必要十分条件は、有理関数 $z^T(tI - A)^{-1}z$ がちょうど $v$ 個の異なる極を持つことである。ここで $z$ は $S$ の特性ベクトルである。
• $(X,S)$ が制御可能であれば、隣接行列 $A$ のすべての固有値は単純である。これは、極の数が頂点数に等しいことから生じる。
• $(X,S)$ が制御可能であれば、$S$ を集合として固定する $X$ の任意の自己同型は恒等写像でなければならない。これはウォーク行列 $W_S$ の正則性に起因する。
• $(X,S)$ の制御可能性は、$0 \leq i,j < v$ に対して $A^i z z^T A^j$ が全行列代数 $\mathrm{Mat}_{v \times v}(\mathbb{R})$ の基底をなすことと同値である。
• ペア $(X,S)$ が制御可能であることと、$A$ による $z$ の生成する $A$-加群が $\mathbb{R}^v$ を生成することとが同値であり、これはウォーク行列 $W_S$ がフルランクであることと同値である。
• 単一の頂点 $u$ に対して、有理関数 $z^T(tI - A)^{-1}z$ は $\phi(X \setminus u, t)/\phi(X,t)$ に等しく、ウォーク行列の行列式の再帰的特徴づけを提供する。