[論文レビュー] Controlled Floyd Separation and Non Relatively Hyperbolic Groups

Shubhabrata Das, Mahan Mj|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自由群の無限生成な悪性部分群 $K$ に沿った $G = F_2 *_K F_2$ として有限生成群 $G$ を構成し、$G$ が任意の真部分群に関して相対的双曲的でない一方で、$\kappa > 1$ に対して $(\kappa,\kappa)$-準線形路に関してFloyd分離されている非可算個の測地線的レイトスを有し、双曲的境界が自明（一点）であるにもかかわらず、双曲的 CAT(0) 2次元立方体群の直接極限であることや、すべての有限生成部分群が双曲的であるといった強い幾何的特徴を持つことを示している。

ABSTRACT

We introduce the notion of controlled Floyd separation between geodesic rays starting at the identity in a finitely generated group G. Two such geodesic rays are said to be Floyd separated with respect to quasigeodesics if the (Floyd) length of c-quasigeodesics (for fixed but arbitrary c) joining points on the geodesic rays is asymptotically bounded away from zero. This is always satisfied by Morse geodesics. The main purpose of this paper is to furnish an example of a finitely generated group $G$ such that 1) all finitely presented subgroups of G are hyperbolic, 2) G has an uncountable family of geodesic rays that are Floyd separated with respect to quasigeodesics, 3) G is not hyperbolic relative to any collection of proper subgroups. 4) G is a direct limit of hyperbolic CAT(0) cubulated groups. 5) G has trivial Floyd boundary in the usual sense. On the way towards constructing $G$, we construct a malnormal infinitely generated (and hence non-quasiconvex) subgroup of a free group, giving negative evidence towards a question of Swarup and Gitik.

研究の動機と目的

• 任意の真部分群に関して相対的双曲的でないが、強力な幾何的・代数的特徴を持つ有限生成群 $G$ を構成すること。
• 任意の $\kappa > 1$ に対して、$(\kappa,\kappa)$-準線形路に関してFloyd分離されている非可算個の測地線的レイトスが $G$ に存在することを示し、制御された計量下での境界構造の非自明性を示すこと。
• Floyd境界 $\partial_f G$ が一点（自明）であることを示し、$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ や広い群の存在といった自明性の既知の障害に反する事実を提示すること。
• Floyd境界の非自明性の特徴づけの可能性に対する反例を提供し、制御されたFloyd分離を有するが境界は自明な群を構成すること。
• 自由群内に無限生成な悪性部分群が存在することを示し、SwarupおよびGitikのクェイジコンベキティおよび悪性性に関する疑問に対して否定的証拠を提供すること。

提案手法

• 自由群の上昇列 $K = \bigcup_n K_n$ に沿った $G = F_2 *_K F_2$ を、悪性かつ準コンベキックスな部分群 $K_n$ の列を用いて構成する。
• 図形的段階的小変形理論を用い、$G$ が $GSC_3$ を満たし、lacunary 双曲的であることを保証することで、漸近的コーンにおける双曲的性を示す。
• 測地線的レイトス間の準線形路の経路を分析することで、Floyd長さが0から離れていることを示し、制御されたFloyd分離を確立する。
• Floyd計量下で、部分群 $F_2(a,b)$ と $F_2(x,y)$ のすべての極限点が一致することを示し、対称的な準線形的構造を持つ関係式 $R_m$ を用いてFloyd境界の自明性を証明する。
• 漸近的コーンと木的グレーディング空間理論を用いて $G$ の幾何を分析し、極限円板が自明に交わること、および切断点が存在しないことを示す。
• 相対的双曲性、準コンベキティ、収束作用の結果を適用し、Floyd境界上の作用が極小的かつ自明であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群が、相対的双曲的でない一方で、任意の $\kappa > 1$ に対して $(\kappa,\kappa)$-準線形路に関してFloyd分離された非可算個の測地線的レイトスを有することは可能か？
• RQ2 Floyd境界の自明性が相対的双曲性を示唆するものなのか、それとも双曲的立方体群の直接極限であり、すべての有限生成部分群が双曲的であるといった強い幾何的特徴を持つ群に対しても自明性が生じ得るのか？
• RQ3 自由群内に無限生成な悪性部分群が存在しうるか？また、このような部分群のクェイジコンベキティおよび双曲的埋め込みに関する意味は何か？
• RQ4 測地線的レイトス間のFloyd分離が制御されている場合、Floyd境界は非自明であると期待できるのか、それとも境界が自明であっても分離が共存しうるのか？
• RQ5 双曲的立方体群の直接極限であるが、すべての有限生成部分群が双曲的であるにもかかわらず、Floyd境界が自明である群が存在しうるか？

主な発見

• 定理 4.1 より、群 $G = F_2 *_K F_2$ は任意の真部分群の族に関して相対的双曲的でない。
• 定理 7.1 より、任意の $\kappa > 1$ に対して、$(\kappa,\kappa)$-準線形路に関してFloyd分離された非可算個の測地線的レイトスが $G$ に存在する。
• 定理 8.1 より、Floyd境界 $\partial_f G$ は一点から成り、自明である。
• 命題 3.11 より、$G$ のすべての有限生成部分群は双曲的であり、$G$ は Baumslag-Solitar 群 $BS(m,n)$ を含まない。
• $K = \bigcup_n K_n$ は $F_2$ 内で悪性かつ無限生成であることが示され、SwarupおよびGitikのクェイジコンベキティに関する疑問に対して否定的解答を与える。
• 定理 6.7 より、$G$ の漸近的コーンには切断点がなく、極限円板は $K_2$ の漸近的コーンと自明に交わる。