[論文レビュー] Controlled Geometry via Smoothing

Peter Petersen, Guofang Wei+1 more|ArXiv.org|Aug 23, 1995

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一様な弱ノルムを持つリーマン計量に対して一般化された平滑化手続きを確立し、任意の高い正則性を持つ計量による近似を可能にする。主な結果として、グロモフのほぼ平坦な多様体定理を一般化し、曲率と直径の有界性のもとで一様なベッチ数の推定を証明する。

ABSTRACT

We prove that Riemannian metrics with a uniform weak norm can be smoothed to having arbitrarily high regularity. This generalizes all previous smoothing results. As a consequence we obtain a generalization of Gromov's almost flat manifold theorem. A uniform Betti number estimate is also obtained.

研究の動機と目的

• 弱正則性を持つリーマン計量を任意の滑らかさにまで平滑化する一般化された手法を開発すること。
• グロモフのほぼ平坦な多様体定理を、より広範な曲率および幾何的条件へと拡張すること。
• 幾何的制御がなされた多様体におけるベッチ数の上界を一様に確立すること。
• 弱ノルムを用いることで、リーマン幾何学における先行する平滑化結果を一般化すること。
• 低正則性の計量の正則化を通じて、制御された幾何学の枠組みを提供すること。

提案手法

• 切り捨て関数と分割関数を用いた畳み込みに基づく計量の平滑化技術を用いる。
• 平滑化された計量が弱ソボレフノルムにおいて一様に有界のまま保たれるように、重み付きノルム制御を適用する。
• ノーマル座標被覆に相対する分割関数を用いて、平滑化プロセスを局所化する。
• 局所座標における計量の局所化に切り捨て関数を用い、滑らか化を適用する。
• 局所的な平滑化計量を分割関数を用いてグローバルに滑らかな計量に貼り合わせる。
• 曲率と直径の均一な制御を確立し、トポロジー的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様な弱ノルムを持つリーマン計量は、任意の正則性にまで平滑化可能か？
• RQ2 グロモフのほぼ平坦な多様体定理は、元の曲率と直径の仮定を越えてどの程度一般化可能か？
• RQ3 曲率と直径の制御のもとで、ベッチ数の上界のような一様なトポロジー的制約はどのようなものか？
• RQ4 初期正則性が高くなくても、多様体全体にわたる一様かつグローバルな平滑化プロセスはどのように実現できるか？
• RQ5 弱ノルムの制御と、幾何的制御がなされた滑らかな近似の存在との関係は何か？

主な発見

• 一様な弱ノルムを持つ任意のリーマン計量は、任意の高い正則性を持つ計量によって滑らかに近似可能である。
• 平滑化プロセスは、曲率と直径の均一な有界性を保ち、グローバルな幾何的制御を可能にする。
• 直径が有界で、弱く制御された曲率をもつ多様体に対して、ベッチ数の上界が一様に確立される。
• より広いクラスの弱正則計量を扱うことで、リーマン幾何学における先行するすべての平滑化結果を一般化する。
• 一般化されたほぼ平坦な多様体定理が証明され、ほぼゼロの曲率と有界な直径をもつ多様体は、一様に有界なベッチ数を持つことが示される。
• 結果は最小限の正則性仮定のもとで成り立つため、制御された幾何学の適用範囲が、より正則性の低い初期データへと拡張される。