[論文レビュー] Controlled invariant sets: implicit closed-form representations and applications

Tzanis Anevlavis, Zexiang Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Fault Detection and Control Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、加法的摂動を伴う離散時間線形システムにおけるロバスト制御不変集合（RCIS）の、反復的計算を回避する新しい暗黙的閉形式表現を提案する。有限長の入力系列を用いることで、1ステップ計算が可能となる。摂動なしでは高次元スケーラビリティと完全性を達成し、摂動ありでは弱い完全性と近似バウンドを保証する。これにより、LP、MIQP、QPなどの最適化プログラムを用いた効率的な安全制御が可能となる。

ABSTRACT

We revisit the problem of computing (robust) controlled invariant sets for discrete-time linear systems. Departing from previous approaches, we consider implicit, rather than explicit, representations for controlled invariant sets. Moreover, by considering such representations in the space of states and finite input sequences we obtain closed-form expressions for controlled invariant sets. An immediate advantage is the ability to handle high-dimensional systems since the closed-form expression is computed in a single step rather than iteratively. To validate the proposed method, we present thorough case studies illustrating that in safety-critical scenarios the implicit representation suffices in place of the explicit invariant set. The proposed method is complete in the absence of disturbances, and we provide a weak completeness result when disturbances are present.

研究の動機と目的

• 高次元システムにおける最大ロバスト制御不変集合（RCIS）を計算する従来の反復的手法のスケーラビリティと終了時間の問題を解決すること。
• 状態-入力系列空間における暗黙的表現を導入することで、明示的RCIS計算の計算負荷を軽減すること。
• 摂動なしおよび摂動ありの両状況において、RCIS計算の完全性と近似保証を確立すること。
• 明示的集合計算を必要とせず、MPC や監視制御などの実用的応用において十分な表現力を持つ暗黙的RCIS表現が、実際の安全制御に十分であることを示すこと。
• 最終的に周期的入力系列を用いた階層的パラメータ化により、次第に大きな不変集合を体系的に構築すること。

提案手法

• RCISを状態と有限長入力系列の結合空間における集合として暗黙的に表現し、明示的な多面体表現を回避する。
• 状態-入力空間における暗黙的RCISの閉形式表現を導出するために、最終的に周期的となる入力系列をパラメータ化に用いる。
• 線形写像による多面体の逆像としてRCISを定式化することで、線形代数的演算による1ステップ計算を可能にする。
• 入力系列の周期長を変化させることで、RCIS近似の階層を定義し、不変集合の体系的な拡大を可能にする。
• ミンコフスキー和と線形変換を活用し、RCISを高次元多面体の射影として表現することで、効率的な最適化ベースの評価を可能にする。
• 標準的な最適化プログラム（LP、MIQP、QP）を用いて、暗黙的RCISへの属性を評価することで、大規模システムへの実用性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的摂動を伴う離散時間線形システムに対して、反復的計算を回避する暗黙的閉形式RCIS表現を導出できるか？
• RQ2 提案手法の暗黙的RCIS表現は、明示的集合計算を伴わずに、実用的応用における安全制御を十分にサポートする表現力を持つのか？
• RQ3 摂動なしおよび摂動ありの両状況において、提案手法にどのような完全性保証を確立できるか？
• RQ4 最終的に周期的となる入力系列による階層的パラメータ化は、計算されたRCISのサイズと品質をどのように向上させるか？
• RQ5 最適化ベースの評価により、暗黙的RCISをどの程度まで任意に良く近似できるか、またその誤差バウンドは何か？

主な発見

• 提案手法は、反復的アルゴリズムを排除する閉形式代数的式を用いて1ステップでRCISを計算可能であり、システム次元の増大に伴うスケーリング劣化を回避する。
• 摂動なしでは、完全性が保証され、最大制御不変集合（CIS）を任意に良く近似可能である。
• 摂動ありでは弱い完全性結果が確立され、計算されたRCISは収縮する近傍内に含まれ、そのバウンドは $ c_2 a^ au $ で与えられ、$ a < 1 $ である。
• 計算されたRCISと最大RCISとのハウスドルフ距離は、入力系列の予測ホライズン長に従って指数的に減少し、高精度な近似を保証する。
• 暗黙的RCIS表現は、MPC や監視制御を含む事例研究において、明示的集合計算を必要とせず、実用的安全制御に十分であることが示された。
• 標準的な最適化プログラム（LP、MIQP、QP）を用いたRCIS属性評価が効率的に行えるため、解法の計算能力に制限されるのみで、大規模システムに適した手法である。