[論文レビュー] Controlled viscosity solutions of fully nonlinear rough PDEs

Massimiliano Gubinelli, Samy Tindel+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、粗いパスに駆動される完全非線形偏微分方程式（PDE）のための、バリエーション解の新しい概念を導入する。テスト関数およびジェットを駆動する粗いパスに関して制御過程として定義する。主な貢献は、古典的バリアンス解を一般化し、変換技術および制御パス理論を用いて、Lions–Souganidis や Friz らの既存の粗い PDE 結果と整合性を持つ、厳密な枠組みを確立することである。

ABSTRACT

We propose a definition of viscosity solutions to fully nonlinear PDEs driven by a rough path via appropriate notions of test functions and rough jets. These objects will be defined as controlled processes with respect to the driving rough path. We show that this notion is compatible with the seminal results of Lions and Souganidis and with the recent results of Friz and coauthors on fully non-linear SPDEs with rough drivers.

研究の動機と目的

• 粗いパスに駆動される完全非線形 PDE に対して、一貫性のあるバリアンス解の概念を定義し、古典的決定的および確率的バリアンス理論を拡張すること。
• テスト関数およびジェットが駆動する粗いパスに関して制御過程として定義される枠組みを確立し、不規則なダイナミクスの厳密な解析を可能にすること。
• Lions と Souganidis が提唱した確率的バリアンス解に関する画期的な結果、および Friz らが最近提唱した粗いドライバーを伴う完全非線形 SPDE に関する最近の研究と整合性を保つこと。
• 微分同相写像を用いた変換に基づくアプローチを提供し、粗い PDE を決定的 PDE に変換することで、バリアンス解の性質を保存すること。

提案手法

• 粗いパスに関して制御過程として定義されるクラス $\mathcal{T}_\sigma$ のテスト関数を導入し、方程式における粗い積分の適切な定義を保証する。
• 古典的ジェット概念を粗いパス設定に一般化するため、粗いジェット $\mathfrak{P}_\sigma^+$ および $\mathfrak{P}_\sigma^-$ を制御過程として定義する。
• $\mathcal{C}^3$-微分同相写像 $\phi$ を用いた変数変換を適用し、粗い PDE をノイズ付き係数を伴う決定的 PDE に変換し、バリアンス解の構造を保存する。
• 制御された粗いパス理論を用いて、変換の収束性および連続性を保証する。特に、粗いパス $\mathbb{X}$ に依存する写像 $G_2$ を通じて。
• 変換 $u = \phi \circ \widetilde{u}$ を用いて、粗い PDE を決定的方程式 (40) に還元する。ここで $\widetilde{u}$ は修正された生成子 $\widetilde{F}$ を持つ標準的なバリアンス PDE を満たす。
• ベクトル場 $H_l$ の粗い積分を用いて構築される、厳密に増加する微分同相写像 $\phi$ の存在に依存し、変換の逆写像性および滑らかさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドライバーの滑らかさに欠ける状況において、粗いパスに駆動される完全非線形 PDE に対して、どのようにして一貫性のあるバリアンス解を定義できるか？
• RQ2 どのクラスのテスト関数が粗いパス構造と整合性を持ち、変換下でもバリアンス解の性質を保つのか？
• RQ3 古典的バリアンス解枠組みを、存在・一意性および安定性を保ちつつ、粗い PDE に拡張できるか？
• RQ4 制御過程および微分同相写像に基づく変換が、粗いパス設定において、どのようにしてバリアンス解の性質を保存するのか？
• RQ5 提案された解の概念が、既存の確率的 PDE や粗い PDE 研究の結果とどの程度整合性を持つのか？

主な発見

• 提案されたバリアンス解の概念は、ブラウン運動に駆動される確率的 PDE に関する Lioins と Souganidis の古典的理論と整合性を持つ。
• 変換 $u = \phi \circ \widetilde{u}$ により、粗い PDE (37) が決定的 PDE (40) に写像され、$\widetilde{u}$ は修正された生成子 $\widetilde{F}$ を持つ標準的なバリアンス PDE を満たす。
• 元の粗い PDE のバリアンス下半解および下半解は、変換された決定的 PDE のそれらと正確に一致し、解の概念の同値性を保証する。
• $F$ が有界で、リプシッツ連続であり、かつ単調性条件 (M) を満たす（すなわち、ほとんど everywhere で $p \cdot DF(p) - F \leq C$ または $\geq -C$）という仮定の下で、方程式 (37) のバリアンス解の存在および一意性が確立される。
• 微分同相写像 $\phi$ は厳密に増加的であり、ベクトル場 $H_l$ の粗い積分を用いて構築され、変換の逆写像性および滑らかさを保証する。
• テスト関数のクラス $\mathcal{T}_\sigma$ および関連するジェット $\mathfrak{P}_\sigma^{\pm}$ は $\phi$ との合成に関して閉じており、変換下でもバリアンス性質が保たれる。