[論文レビュー] Controlling a d-level atom in a cavity

Thomas Hofmann, Michael Keyl|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Quantum optics and atomic interactions参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、エネルギー準位と遷移を順序付きグラフ Γ の頂点と辺としてモデル化するグラフ理論的枠組みを用いて、複数のキャビティモードに結合する d レベル原子の強力な可制御性を確立する。系のダイナミクスを符号化するパス代数 A₀(Γ) を導入することで、原子遷移の局所的制御を用いてヒルベルト空間上の任意のユニタリ操作を任意の精度で近似可能であることを証明し、有効次元が多項式的増加となる無限次元設定でもユニバーサルな量子制御を実現可能とする。

ABSTRACT

In this paper we study controllability of a $d$-level atom interacting with the electromagnetic field in a cavity. The system is modelled by an ordered graph $Γ$. The vertices of $Γ$ describe the energy levels and the edges allowed transitions. To each edge of $Γ$ we associate a harmonic oscillator representing one mode of the electromagnetic field. The dynamics of the system (drift) is given by a natural generalization of the Jaynes-Cummings Hamiltonian. If we add in addition sufficient control over the atom, the overall system (atom and em-field) becomes strongly controllable, i.e. each unitary on the system Hilbert space can be approximated with arbitrary precision in the strong topology by control unitaries. A key role in the proof is played by a topological *-algebra which is (roughly speaking) a representation of the path algebra of $Γ$. It contains crucial structural information about the control problem, and is therefore an important tool for the implementation of control tasks like preparing a particular state from the ground state. This is demonstrated by a detailed discussion of different versions of three-level systems.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間における複数のキャビティモードと相互作用する d レベル原子の可制御性を確立すること。
• ジェインズ＝カミングス模型を任意の有限準位の原子および多モード場に一般化すること。
• 順序付きグラフのパス代数に基づく構造的枠組みを構築し、量子制御タスクの分析と実装を可能とすること。
• 原子遷移の局所的操作により、無限次元設定においても完全なユニタリ制御が達成可能であることを示すこと。
• 多準位原子系と光子モードを有する系における状態準備および最適制御の体系的手法を提供すること。

提案手法

• エネルギー準位を頂点、許可された電気双極子遷移を辺として持つ順序付きグラフ Γ を用いて、d レベル原子とキャビティ場の相互作用をモデル化する。
• Γ の各辺に、電磁場の別々の調和振動子モードを対応させ、多モードキャビティ系を構成する。
• 系のダイナミカル構造を捉えるために、Γ のパス代数 A₀(Γ) と呼ばれる位相的 ∗-代数を定義し、リー代数的制御解析を可能にする。
• 系のハミルトニアンの再帰的性質および自己随伴性を用いて、無限次元における適切に定義された量子ダイナミクスを保証する。
• 対称性の破れ技術および原子準位におけるユニタリ制御を適用し、全ヒルベルト空間上での任意ユニタリ操作を生成する。
• パス代数を有限光子数部分空間で切断することで、次元が指数的増加ではなく多項式的増加となることを示し、効率的な制御アルゴリズムを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数のキャビティモードに結合する d レベル原子は、ヒルベルト空間上の任意のユニタリ操作を任意の精度で近似可能であるような強力な可制御性を有するか？
• RQ2 エネルギー準位と遷移を表す基盤となるグラフ Γ の構造は、系の可制御性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 パス代数 A₀(Γ) は、制御問題の特徴付けおよび効果的な状態準備を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ4 パス代数の構成は、木構造のグラフを超えて、サイクルを含む系へ一般化可能か？その場合の構造的差異は何か？
• RQ5 グラフの同型性とその関連するパス代数の同型性の間に一対一対応があるか？

主な発見

• 系は強力に可制御である：原子遷移の局所的制御を用いて、全ヒルベルト空間上の任意のユニタリ操作を任意の精度で近似可能である。
• パス代数 A₀(Γ) は、無限次元量子制御問題にリー理論的手法を適用可能にする重要な代数的構造を提供する。
• 木構造のグラフ（例：Γ_C、Γ_V、Γ_Λ）では、不変部分空間 H_b の次元が有界（≤3）であり、対称性の破れとユニタリ制御を用いた体系的状態準備が可能である。
• 一方、サイクルを含むグラフ（例：Γ_Δ）では、H_b の次元が無限に増大し、より複雑な解析を要し、制御スキームの直接的な一般化が制限される。
• パス代数を有限光子数部分空間で切断すると、標準的な切断スキームとは異なり次元が多項式的増加となるため、計算効率が著しく向上する。
• 2つのグラフのパス代数 A₀(Γ) が同型であるための必要十分条件は、そのグラフが同型的であることである。これは、グラフ位相と制御代数の間の深い構造的対応を示唆する。