[論文レビュー] Controlling nonlinear PDEs using low-dimensional bilinear approximations obtained from data

Sebastian Peitz|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 50被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、定常制御入力からのカルマン作用素の凸結合を用いて低次元の双線形還元モデルを構築することで、非線形PDEのリアルタイム制御を実現するデータ駆動型モデル還元フレームワークを提案する。この手法により、標準的な空間離散化手法では計算的に非現実的である非線形PDEに対しても、6桁以上の高速化を達成しつつ、高精度な制御性能を維持するリアルタイムのモデル予測制御（MPC）が可能になる。

ABSTRACT

In a recent article, we presented a framework to control nonlinear partial differential equations (PDEs) by means of Koopman operator based reduced models and concepts from switched systems. The main idea was to transform a control system into a set of autonomous systems for which the optimal switching sequence has to be computed. These individual systems can be approximated very efficiently by reduced order models obtained from data, and one can guarantee equality of the full and the reduced objective function under certain assumptions. In this article, we extend these results to continuous control inputs using convex combinations of multiple Koopman operators corresponding to constant controls, which results in a bilinear control system. Although equality of the objectives can be carried over when the PDE depends linearly on the control, we show that this approach is also valid in other scenarios using several flow control examples of varying complexity.

研究の動機と目的

• 標準的な空間離散化手法では計算的に非現実的である非線形PDEのリアルタイム制御の課題に対処すること。
• 従来の還元モデル（ROM）が複雑な非線形ダイナミクスと制御依存性を捉えることの限界を克服すること。
• 非線形PDEのデータ駆動型低次元双線形近似を構築し、モデル予測制御（MPC）による効率的でリアルタイムの最適制御を可能にすること。
• 定常制御入力からのカルマン作用素を活用し、連続的制御入力の間で補間することで、トレーニングデータの必要量を最小限に抑えること。
• 制御アフィン仮定の下で、還元された目的関数が全次元目的関数に理論的に収束することを保証するとともに、非アフィンケースにおいてもそのロバスト性を示すこと。

提案手法

• 拡張動的モード分解（EDMD）を用いて、非線形PDE系のカルマン作用素を複数の定常制御入力に対して近似する。
• 異なる定常制御に対応するカルマン作用素の線形補間により、連続的制御入力を表現可能な双線形還元モデル（K-ROM）を構築する。
• 還元空間における双線形最適制御問題として制御問題を定式化し、標準的な数値手法による効率的解法を可能にする。
• 有限予測ホライズンと再帰的最適化を特徴とする、K-ROMを統合したモデル予測制御（MPC）フレームワークを構築する。
• 状態および制御ダイナミクスをカルマンフレームワーク内で表現するため、低次元の観測基底（例えば、DMDまたは径数基底関数）を用いる。
• 定常制御入力下の軌道でのみトレーニングを行うことで、全制御空間のサンプリングに比べて大幅にデータサイズを削減し、データ効率を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルマン作用素に基づく還元モデルは、非自励系の凸結合によって連続的制御入力を扱えるように拡張可能か？
• RQ2 双線形近似は、特に制御アフィンダイナミクス下で、全次元制御目的関数の最適性を保っているか？
• RQ3 本手法は、高レイノルズ数における2次元ナビエ＝ストークス方程式のような混沌とした挙動を示す非線形PDEの制御において、どの程度の性能を示すか？
• RQ4 カルマンROMの精度は、還元空間における観測関数および基底関数の選択にどの程度依存するか？
• RQ5 得られる双線形ROMは、オーダー・オブ・マグニチュードの高速化を達成しつつ、複雑なPDEのリアルタイム制御を可能にし、制御性能を維持できるか？

主な発見

• 提案された双線形カルマンROMは、全次元FEMシミュレーションと比較して、2次元ナビエ＝ストークス制御問題の解法において6桁以上の高速化を達成した。
• Re = 100（準周期的）のフローピンバルブでは、図7に示すように、極めて優れた追従性能と最小限の誤差を達成した。
• Re = 140（やや混沌とした）では、混沌たるダイナミクスとROM精度の低下により誤差がわずかに増加したが、制御器は依然として満足できる性能を示した。
• Re = 200（強く混沌とした）でも、観測基底のサイズを増加させても（例：1000個のRBF）顕著な性能向上が得られず、混沌たる性質が主な誤差要因であることが示された。
• 制御アフィン系では、還元目的関数が全目的関数に測度収束することを理論的に証明した。また、実験的結果から非アフィンケースにおいてもロバスト性が確認された。
• 50,000セル、150,000自由度のPDEを12次元の双線形系に還元することで、リアルタイムMPCが可能であることを示し、複雑な流体動力学制御における実用的妥当性を実証した。