[論文レビュー] Controlling the Depth, Size, and Number of Subtrees for Two-variable Logic on Trees

Saguy Benaim, Michael Benedikt+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Advanced Database Systems and Queries参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限の順序付きラベル付き木における2変数一階論理（FO²）の充足可能性を調査し、従来の仮定とは異なり、2EXPTIMEではなくEXPSPACE完全であることを示している。モデルの深さ、サイズ、異なる部分木の数を制御するための新規技術——部分論理式に基づく型、見せかけのノード商、部分木の縮約操作——を導入し、充足可能な論理式が部分木の多様性に関して指数的サイズのモデルを有することを証明した。これにより、特定の条件下でNEXPTIME決定手続きが可能となる。

ABSTRACT

Verification of properties of first order logic with two variables FO2 has been investigated in a number of contexts. Over arbitrary structures it is known to be decidable with NEXPTIME complexity, with finitely satisfiable formulas having exponential-sized models. Over word structures, where FO2 is known to have the same expressiveness as unary temporal logic, the same properties hold. Over finite labelled ordered trees FO2 is also of interest: it is known to have the same expressiveness as navigational XPath, a common query language for XML documents. Prior work on XPath and FO2 gives a 2EXPTIME bound for satisfiability of FO2. In this work we give the first in-depth look at the complexity of FO2 on trees, and on the size and depth of models. We show that the doubly-exponential bound is not tight, and neither do the NEXPTIME-completeness results from the word case carry over: the exact complexity varies depending on the vocabulary used, the presence or absence of a schema, and the encoding used for labels. Our results depend on an analysis of subformula types in models of FO2 formulas, including techniques for controlling the number of distinct subtrees, the depth, and the size of a witness to finite satisfiability for FO2 sentences over trees.

研究の動機と目的

• 有限の順序付きラベル付き木における2変数一階論理（FO²）の充足可能性の正確な複雑さを特定すること。
• ナビゲーション述語（例：親、子、後代、兄弟）の有無、スキーマ、ラベル符号化の有無といった構造的制約が、木におけるFO²の複雑さに与える影響を分析すること。
• 充足可能なFO²論理式のモデルにおける深さ、サイズ、異なる部分木の数を制限する技術を開発すること。
• 木におけるFO²の既知の2EXPTIME上界がタイトでないことを示し、複雑さがEXPSPACEまたはNEXPTIMEに低下する条件を同定すること。

提案手法

• 同じ部分論理式型と親型を持つ部分木が存在する場合、それらを同型なより小さな部分木に置き換える部分木の縮約操作を導入し、FO²論理式の真理値を保つ。
• 部分論理式型と特徴的な見せかけのノードに基づく商構成を用いて、論理的充足を保ちつつモデルサイズを縮小する。
• ノードとその祖先の型に基づく分析を用いて、最小モデルにおける異なる部分木型の数を上限付ける。
• ナビゲーションXPathと木オートマトンへの還元を用いて、スキーマ制約下での複雑さを分析する。
• よりも縮約が可能でなくなるまで更新操作を繰り返し適用し、指数的多くの異なる部分木を持つDAG表現を生成する。
• 充足可能な任意のFO²論理式は、論理式サイズに関して指数的サイズのモデルを有し、異なる部分木は指数的個数に制限されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の順序付きラベル付き木におけるFO²充足可能性の正確な複雑さは何か？
• RQ2 ナビゲーション述語（例：親、子、後代、兄弟）の存在が、木におけるFO²の複雑さにどのように影響するか？
• RQ3 木におけるFO²の2重指数的2EXPTIME上界は改善可能か？もし可能であれば、どのような条件下で可能か？
• RQ4 充足可能なFO²論理式の最小モデルにおいて、異なる部分木の数、モデルの深さ、モデルのサイズをどの程度まで制御できるか？
• RQ5 スキーマや異なるラベル符号化（一進法対比例論理）が、木におけるFO²充足可能性の複雑さに与える影響は何か？

主な発見

• 木における完全なFO²充足可能性問題は、従来の仮定とは異なり2EXPTIMEではなくEXPSPACE完全である。
• 木におけるFO²の複雑さは、語や一般構造におけるものとは顕著に異なる。後者はNEXPTIME完全性を示す。
• 木における充足可能なFO²論理式は、異なる部分木が指数的個数に制限されたモデルを持つ。これにより、NEXPTIME決定手続きが可能となる。
• 語におけるFO²に用いられる標準的な量化順序型分析は、木では効果を発揮しない。代わりに、部分論理式に基づく型と見せかけのノード商が不可欠である。
• ランク付きスキーマが存在する場合、同じ指数的サイズのDAG構成が適用可能であり、NEXPTIME上界が保たれる。
• 本稿は、FO²の木における充足可能性が常にNEXPTIME完全であるという以前の主張を反証し、これは特定の語彙制限のもとでのみ成立することを示している。