[論文レビュー] Conundrum of weak noise limit for diffusion in a tilted periodic potential

Jakub Spiechowicz, J. Łuczka|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 64被引用数 10

ひとこと要約

本研究は、長時間にわたる高精度なシミュレーションを用いて、傾いた周期的ポテンシャル内における慣性付きブラウン運動の弱ノイズ極限を再検討した。先行研究の仮定とは異なり、二安定な速度状態の領域では、ノイズ強度がゼロに近づくにつれて、ボールスティック拡散の寿命が発散し、拡散係数が定常値に達しないため、弱ノイズ極限における弱エルゴード性の破綻が明らかになった。

ABSTRACT

The weak noise limit of dissipative dynamical systems is often the most fascinating one. In such a case fluctuations can interact with a rich complexity frequently hidden in deterministic systems to give rise of completely new phenomena that are absent for both noiseless and strong fluctuations regimes. Unfortunately, this limit is also notoriously hard to approach analytically or numerically. We reinvestigate in this context the paradigmatic model of nonequlibrium statistical physics consisting of inertial Brownian particle diffusing in a tilted periodic potential by exploiting the state of the art computer simulations of unprecedented time scale. In contrast to the previous results on this long standing problem we draw an inference that in the parameter regime for which the particle velocity is bistable the lifetime of ballistic diffusion diverges to infinity when thermal noise intensity tends to zero, i.e. an everlasting ballistic diffusion emerges. As a consequence the diffusion coefficient does not reach its stationary constant value.

研究の動機と目的

• 傾いた周期的ポテンシャル内での拡散における弱ノイズ極限の長年の謎を解明すること。
• 熱的ノイズ強度がゼロに近づく際の拡散係数および速度ダイナミクスの挙動を調査すること。
• 特に二安定な速度状態領域において、弱ノイズ領域で系が定常状態に達するかを検討すること。
• 先行文献における弱ノイズ極限における拡散係数の収束性に関する矛盾を解明すること。

提案手法

• 未だかつてない長時間スケールでの、傾いた周期的ポテンシャル内に置かれたブラウン運動粒子の慣性付きランジュバン方程式の数値的シミュレーション。
• 絶対的な物理的スケールに依存しない普遍的ダイナミクスを分離するために、次元なし変数の使用。
• 極めて長い時間にわたる粒子の軌道追跡により、ボールスティック拡散の持続性を評価。
• 速度ダイナミクスの分析により、固定状態と走行状態を特定し、それらの滞在確率を評価。
• 時間に依存する拡散係数 D(t) の計算により、非定常的挙動を検出。
• シミュレーション結果を二状態理論モデルと比較し、D(t) がノイズ強度に依存して非単調に変化するメカニズムを解釈。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 傾いた周期的ポテンシャル内に置かれた粒子において、弱ノイズ極限で拡散係数が定常値に達するか？
• RQ2 二安定な速度状態領域において、ノイズ強度がゼロに近づくとボールスティック拡散の寿命はどのように変化するか？
• RQ3 固定状態と走行状態における滞在確率の違いが、長時間における拡散係数にどのように影響するか？
• RQ4 なぜ過去の解析的および数値的研究が、弱ノイズ極限における系の挙動について矛盾した結論に至ったのか？
• RQ5 持続的なボールスティック運動のため、弱ノイズ極限において弱エルゴード性が破綻するか？

主な発見

• 粒子の速度が二安定なパラメータ領域では、ノイズ強度がゼロに近づくにつれてボールスティック拡散の寿命が発散し、永遠に続くボールスティック状態が存在することが示された。
• 弱ノイズ極限において、拡散係数が定常値に収束しないことが判明し、エルゴード性の仮定と矛盾した。
• 拡散係数の非定常的挙動は、一時的でない持続的なボールスティック軌道の存在に起因する。
• 系は弱エルゴード性を破壊しており、長時間における時間平均とアンサンブル平均の拡散係数が一致しない。
• 定常バイアス f の大きさが、D(t) の有限時間における温度依存性を定性的に変化させ、異なるバイアス領域で異なる極小値と極大値を示す。
• 固定状態と走行状態の確率が等しくなる、すなわち |pl − pr| が最小化されるときに拡散係数が最大値を示す。