[論文レビュー] Convergence and adiabatic elimination for a driven dissipative quantum harmonic oscillator

Rémi Azouit, Alain Sarlette+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2015

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ひとこと要約

この論文は、2光子過程を伴う駆動・散乱する量子調和振動子が、猫状態（反対位相のコherent状態の重ね合わせ）からなる保護された部分空間に大域的に収束することを証明している。さらに、単一光子の損失率が小さい摂動を受けた場合の、この部分空間上での近似的な遅いダイナミクスを、断熱的消去法を用いて導出し、有効な論理キュービットの時間発展を正確に記述する低次元の Lindblad マスター方程式が得られる。

ABSTRACT

We prove that a harmonic oscillator driven by Lindblad dynamics where the typical drive and loss channels are two-photon processes instead of single-photon ones, converges to a protected subspace spanned by two coherent states of opposite amplitude. We then characterize the slow dynamics induced by a perturbative single-photon loss on this protected subspace, by performing adiabatic elimination in the Lindbladian dynamics.

研究の動機と目的

• Lindblad駆動の調和振動子に2光子過程を組み込んだ系が、2つのコherent状態からなる保護された部分空間に大域的収束することを厳密に確立すること。
• 単一光子損失が支配的であるが小さい摂動が、保護された部分空間上での系の挙動に与える影響を分析すること。
• Lindbladian量子ダイナミクスにおける断熱的消去法を用いて、保護された部分空間上での有効な遅いダイナミクスを導出すること。
• 断片的なFock空間を用いた数値シミュレーションにより、低次元モデルの妥当性を検証すること（状態のfideliyと軌道の一致を含む）。

提案手法

• 無限次元ヒルベルト空間に適応した Lyapunov-LaSalle 戦略を用いて、理想状態（ϵ = 0）における大域的収束を証明する。
• 特異摂動理論を用いて、Lindbladianマスター方程式における高速度・低速度のダイナミクスを分離する。
• 高速に減衰するモードを断熱的消去することで、保護された部分空間上での低次元 2×2 Lindblad マスター方程式を導出する。
• 有効な遅いダイナミクスを d/dt ρs = ϵα² LX(ρs) として導出し、ここで X は猫状態基底におけるキュービット反転演算子である。
• 切断された Fock 空間を用いた数値的シミュレーションにより、完全系と低次元系のダイナミクスを比較する。
• Lindblad方程式のシミュレーションとfideliyの追跡に、正値性を保つ数値スキームを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2光子駆動のLindbladianダイナミクスは、反対位相の2つのコherent状態で張られる部分空間に大域的収束するか？
• RQ2 小さな単一光子損失摂動が、保護された部分空間上での長期的ダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ3 Lindbladianダイナミクスに断続的消去法を厳密に適用して、有効な遅い多様体ダイナミクスを導出できるか？
• RQ4 低次元モデルは、特に状態のfideliyと観測可能量の軌道に関して、完全系の時間発展を適切に近似できるか？
• RQ5 保護された部分空間上での有効Lindbladianの構造は何か？また、論理キュービット操作とどのように関係するか？

主な発見

• ϵ = 0 のとき、Lyapunov関数 Tr(LρL†) を用いた証明により、系は2つのコherent状態からなる部分空間 Hα = span{|α⟩, |−α⟩} に大域的収束する。
• ϵ > 0 のとき、保護された部分空間上での遅いダイナミクスは、低次元Lindblad方程式 d/dt ρs = ϵα² LX(ρs) で記述され、ここで X = (γ₊/γ₋)|c₊⟩⟨c₋| + (γ₋/γ₊)|c₋⟩⟨c₊| である。
• 低次元モデルはビット反転と人口不均衡の両方の効果を捉えており、Blochスピンのz成分は |α| が大きいとき (γ₊⁴ − γ₋⁴)/(γ₊⁴ + γ₋⁴) ≈ 0 に収束する。
• 数値的シミュレーションにより、完全系と低次元系の間のfideliyが 10⁻⁴ 以内に収束することが示され、ϵ²のスケーリングと整合的である。
• 低次元モデルにおける σz および σx の期待値は、完全系と比較して、ϵ のオーダーの定数オフセットを除き、減衰率に関して約 4% の精度で一致する。
• 遅いダイナミクスは依然としてLindbladianの性質を保ち、他の設計された量子部分空間への断熱的消去法の一般化が可能である可能性を示唆している。