[論文レビュー] Convergence and almost sure properties in Hardy spaces of Dirichlet series

Frédéric Bayart|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2021

Holomorphic and Operator Theory参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、右半平面上における有界で正則な𝜆-ディリクレ級数の一様収束を保証する周波数𝜆に関する新しい条件（NC）を導入する。これはボーリングとランダウの古典的結果を拡張するものであり、調和解析を用いてℋ_p(𝜆)空間におけるほとんど確実な収束結果を確立するとともに、これらの空間を標準的な正則関数空間として扱う際の困難さを示している。

ABSTRACT

Given a frequency $\\lambda$, we study general Dirichlet series $\\sum a_n e^{-\\lambda_n s}$. First, we give a new condition on $\\lambda$ which ensures that a somewhere convergent Dirichlet series defining a bounded holomorphic function in the right half-plane converges uniformly in this half-plane, improving classical results of Bohr and Landau. Then, following recent works of Defant and Schoolmann, we investigate Hardy spaces of these Dirichlet series. We get general results on almost sure convergence which have an harmonic analysis flavour. Nevertheless, we also exhibit examples showing that it seems hard to get general results on these spaces as spaces of holomorphic functions.

研究の動機と目的

• 古典的条件（BC）および（LC）を超えてボーリングの一様収束定理を拡張するため、周波数𝜆に関する新しい、かつ（LC）よりも厳密に弱い条件（NC）を導入すること。
• 一般の𝜆-ディリクレ級数に対するハードィ空間ℋ_p(𝜆)の構造と収束性を調査し、特にほとんど確実な収束に注目すること。
• Banach空間構造を持つにもかかわらず、ℋ_p(𝜆)を標準的な正則関数空間として扱う際の制限を明確にすること。
• 補間法とベクトル値不等式を用いて、ℋ_1(𝜆)上の部分和作用素S_Nの作用素ノルムに関する新たな推定値を提供すること。
• ℋ_2(𝜆)からℋ_p(𝜆)への平行移動作用素T_σの有界性を調べ、p ≥ 2に対して鋭い閾値を同定すること。

提案手法

• （LC）より弱い、𝜆_nの成長と分離度を定量的に制御する新しい周波数条件（NC）を導入し、有界なディリクレ級数の一様収束を保証する。
• 通常のディリクレ級数におけるサクスマンの公式にインspiredされた、畳み込みに基づくモリファイア技法を採用し、先行研究で用いられたリエス平均とは異なる。
• ディリクレ群（G, 𝛽）上のℒ_p(G)の部分空間とのボーリング対応を用いて調和解析を適用し、群の特徴関数を通じてノルム推定を行う。
• Hölderの不等式とヘルソンの不等式を用い、ℒ_1-正則化ノルムにおいてℋ_1(𝜆)における部分和作用素S_Nの作用素ノルムを評価する。
• ディリクレ多項式の2k乗のℒ_2kノルムを解析することで、平行移動作用素T_σのノルムの下界を導出し、鋭い閾値を特定する。
• 係数と周波数を制御した明示的なディリクレ多項式の族を構成し、収束性および有界性に関する結果の鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 （LC）よりも厳密に弱い周波数条件（NC）が存在し、それによって右半平面上における有界な𝜆-ディリクレ級数の一様収束が保証されるか？
• RQ2 非標準的な構造を有するにもかかわらず、ℋ_p(𝜆)空間が正則関数空間としてどの程度特徴付けられるか？
• RQ3 平行移動作用素T_σがℋ_2(𝜆)からℋ_p(𝜆)への有界作用素となるための鋭い閾値σは何か？（p ≥ 2）
• RQ4 ℋ_1(𝜆)上の部分和作用素S_Nの作用素ノルムは𝜆に依存せずに有界に抑えられるか？ もしそうならば、最も良い成長率は何か？
• RQ5 ℋ_p(𝜆)におけるディリクレ多項式のノルムは、畳み込みおよびべき乗操作に対してどのように振る舞い、ℋ_p(𝜆)の構造にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 新しい条件（NC）は（LC）よりも厳密に弱く、かつすべての有界で正則な𝜆-ディリクレ級数が任意の𝜀 > 0に対してℂ_ε半平面上で一様収束することを保証する。
• 例2.3で定義される周波数列に対して、ℋ_1(𝜆)上のS_Nの作用素ノルムは‖S_N‖_{ℋ_1→ℋ_1} ≤ C log(N)を満たし、既知の境界を改善する。
• 平行移動作用素T_σがℋ_2(𝜆)からℋ_2k(𝜆)への有界作用素であるための必要十分条件はσ ≥ (k−1)/(2k)であり、構成された多項式族に対してこの閾値は鋭い。
• 同じ周波数列に対して、ℋ_2(𝜆)からℋ_p(𝜆)へのT_σのノルムが有界であるための必要十分条件はσ ≥ (p−2)/(2p)であり、これは予想される鋭い閾値を示唆する。
• すべての次数𝑁の𝜆-ディリクレ多項式𝐷に対して、Λ_N = sup ‖D‖_2 / ‖D‖_1を満たすとき、Λ_N ≤ √Nが成り立ち、ℋ_1(𝜆)における作用素ノルムのlog(N)の境界が得られる。
• 本研究により、ℋ_p(𝜆)空間は標準的な正則関数空間とは異なる性質を示しており、一般の収束性および有界性に関する結果を得ることは困難であることが明らかになった。