[論文レビュー] Convergence and error estimates of a viscosity-splitting finite-element scheme for the Primitive Equations

Francisco Guillén‐González, M. V. Redondo-Neble|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、海洋の3次元原始方程式に対する粘性分割有限要素スキームを提示し、弱解への無条件安定性および収束性を証明する。時間ステップ $k \leq h^2$ の制約下で、速度および圧力に対する最適誤差推定 $O(k + h^l)$（$l=1$ または $2$、有限要素の近似次数に依存）を確立する。この手法は、時間分割とインフラ・スタブルな有限要素を組み合わせ、コリolis力は安定化補正戦略により取り扱う。

ABSTRACT

The purpose of this paper is the numerical analysis of a first order fractional-step time-scheme, using decomposition of theviscosity, and "inf-sup" stable finite element space-approximations for the Primitive Equations of the Ocean. The aim of the paper is twofold. Firstly, we prove that the scheme is unconditionally stable and convergent towards weak solutions of the Primitive Equations. Secondly, optimal error estimates for velocity and pressure are provided of order $O(k+h^l)$ for $l=1$ or $l=2$ when either first or second order finite-element approximations are considered ($k$ and $h$ being the time step and the mesh size, respectively). In both cases, these error estimates are obtained under the same constraint $k\le h^2$.

研究の動機と目的

• 海洋動力学の3次元原始方程式に対する安定的かつ収束性のある数値スキームの開発。
• 有限要素近似における速度および圧力の厳密な誤差推定の確立。
• 時間ステップ制約 $k \leq h^2$ の下での安定性および収束性の保証。
• 数値実装および精度の観点から、積分微分形（Q）と完全微分形（R）の2つの問題の再定式化を比較する。
• 指数的時間成長を避けるために、コリolis項を補正戦略により取り扱い、安定性推定の維持を図る。

提案手法

• 1次精度の分離時間スキームを採用し、粘性項を分割することで運動量方程式と圧力方程式を分離する。
• 空間離散化にインフラ・スタブルな有限要素空間を用い、速度および圧力近似のための $h$-細分化を行う。
• 問題を2つの形に再定式化する：(Q) は積分微分系、(R) は完全微分系であり、両者とも垂直メッシュ構造を用いる。
• コリolis項 $\mathbf{b}(\mathbf{u}) = f\mathbf{u}^\perp$ は中間速度ステップで明示的に取り扱い、2番目のサブステップで補正することで安定性を維持する。
• 誤差伝搬の制御および安定性境界における指数的成長の防止のため、非等方的推定と離散グロワンデル不等式を用いる。
• サブステップ2では静水圧ストークス問題を解き、$A_h^{-1}$ は離散逆作用素を表し、補間および逆不等式を用いて $W^{1,6}$-ノルム推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性分割有限要素スキームは、3次元原始方程式に対して無条件安定性および収束性を達成できるか？
• RQ2 時間ステップ $k$ およびメッシュサイズ $h$ の観点から、このスキームの最適収束速度は何か？
• RQ3 積分微分形（Q）と完全微分形（R）の再定式化の選択が、精度および実装の複雑さに与える影響は何か？
• RQ4 コリolis項は、安定性推定における指数的時間成長を避ける方法で取り扱えるか？
• RQ5 $k \leq h^2$ の制約が、スキームの全体的な精度および実用性に与える影響は何か？

主な発見

• スキームは弱解への無条件安定性および収束性を有する。
• 速度および圧力に対して、$l=1$（線形要素）の場合は $O(k + h^l)$、$l=2$（二次要素）の場合は $O(k + h^l)$ の最適誤差推定が達成される。
• $k \leq h^2$ の制約は、両方の再定式化（Q）および（R）において、これらの最適誤差境界を達成するために必要かつ十分である。
• （R）スキームは解析的にやや弱いが、実装がより簡単で、$l=2$ の場合に $H^1 \times L^2$-ノルムで $O(k + h^2)$ の精度を達成する。
• コリolis項は指数的時間成長を避ける補正戦略により取り扱われ、最適収束性が維持される。
• 離散逆作用素 $A_h^{-1}$ に対する非等方的 $W^{1,6}$-ノルム推定が導出され、補間および逆不等式を用いて誤差解析を支援する。