[論文レビュー] Convergence and Optimality of Adaptive Methods in the Finite Element Exterior Calculus Framework

Michael Holst, Adam Mihalik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホッジ分解から導かれる準直交性の性質を活用することで、有限体積外微分計算（FEEC）フレームワーク内において、混合有限要素法の収束性と最適性を確立している。先行研究を拡張し、ヒルバート複体上の混合法における後騒誤差指標に基づく適応的アルゴリズムが収束し、最適収束率に達することを証明している。

ABSTRACT

ABSTRACT. Finite Element Exterior Calculus (FEEC) was developed by Arnold, Falk, Winther and others over the last decade to exploit the observation that mixed variational problems can be posed on a Hilbert Complex, and Galerkin-type mixed methods can then be obtained by solving finite-dimensional subcomplex problems. Stability and consistency of the resulting methods then follow directly from the framework by establishing the existence of operators connecting the Hilbert complex with its subcomplex, giving a essentially a “recipe ” for well-behaved methods. In 2012, Demlow and Hirani developed a posteriori error indicators for driving adaptive methods in the FEEC framework. While adaptive techniques have been used successfully with mixed methods for years, convergence theory for such techniques has not been fully developed. The main difficulty is lack of error orthogonality. In 2009, Chen, Holst, and Xu established convergence and optimality of an adaptive mixed finite element method for the Poisson equation (the Hodge-Laplace problem fork = n = 2) on simply connected polygonal domains in two dimensions. Their argument used a type of quasi-orthogonality result, exploiting the fact that the error was orthogonal to the divergence free subspace, while the part of the error

研究の動機と目的

• 適応的混合有限要素法の収束理論におけるギャップを埋めること、特に誤差直交性が欠如している状況において。
• Chen, Holst, and Xu (2009) のポisson方程式に対する収束性および最適性の結果を、より広範なFEECフレームワークへと拡張すること。
• FEECフレームワーク内での後騒誤差指標に基づく適応的手法が収束し、最適収束率に達することを確立すること。
• ホッジ分解に由来する準直交性の性質が、標準的な誤差直交性が存在しない状況でも収束を可能にすることを示すこと。
• FEECフレームワーク内における複雑な幾何構造および一般混合変分問題に対する適応的混合法の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ヒルバート複体およびその有限次元部分複体上で混合変分問題をモデル化するためのFEECフレームワークを用いる。
• DemlowとHirani (2012) が開発した後騒誤差指標を用いてメッシュの適応的 refinement を駆動する。
• ホッジ分解を活用することで、誤差が発散なし部分空間に対して直交するという準直交性の結果を確立する。
• FEECフレームワークの離散的インフラ・サブ条件および安定性を適用し、離散問題の適切な定式化を保証する。
• 連続複体と離散複体を結ぶ射影作用素の存在を用いて、一貫性および安定性を導出する。
• 準直交性を事前および事後誤差推定と組み合わせることで、適応的アルゴリズムの収束性および最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FEECフレームワーク内での適応的混合有限要素法は、標準的な誤差直交性が欠如している状況でも収束するか？
• RQ2 FEECフレームワーク内での適応的FEMの最適収束率を保証する条件は何か？
• RQ3 誤差の完全な直交性が欠如している状況で、どのように準直交性の性質を活用して収束を証明できるか？
• RQ4 FEECにおける後騒誤差指標は、最適な適応的メッシュ改良戦略を導くか？
• RQ5 ポisson方程式に対する収束性および最適性理論は、FEECにおけるより広範な混合問題クラスへ一般化可能か？

主な発見

• FEECおよび後騒誤差指標に基づく適応的有限要素法は、エネルギーノルムにおいてグローバルに収束する。
• 最適収束率が達成され、与えられたメッシュの細分化戦略に対して誤差が最良の可能性の速度で減少する。
• ホッジ分解に由来する準直交性の性質が、連続的な適応的ステップにおいて誤差が減少することを保証し、収束を可能にする。
• 収束性および最適性の結果は、ポisson方程式に限らず、一般の混合変分問題がヒルバート複体上に定式化された場合にも成り立つ。
• 連続複体と離散複体を結ぶ射影作用素の存在を通じて、離散手法の安定性および一貫性がフレームワークで保証される。
• Chen, Holst, and Xu (2009) の先行研究を一般化し、2次元ポisson問題に限定されない収束性および最適性解析を拡張している。