[論文レビュー] Convergence and Optimality of hp-AFEM

Claudio Canuto, Ricardo H. Nochetto+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1次元および2次元の楕円型問題に対して、hp-近似最良ステップとREDUCE型豊か化ステップを組み合わせた新規なhp-adaptive有限要素法（hp-AFEM）を提案する。収束性とインスタンス最適性を証明し、解およびデータの適切なスパarsity仮定のもとで、多項式次数の増加に依存しない1次元における最適収束率を達成することが示された。

ABSTRACT

We design and analyze an adaptive $hp$-finite element method (hp-AFEM) in dimensions $n=1,2$. The algorithm consists of iterating two routines: hp-NEARBEST finds a near-best $hp$-approximation of the current discrete solution and data to a desired accuracy, and REDUCE improves the discrete solution to a finer but comparable accuracy. The former hinges on a recent algorithm by Binev for adaptive $hp$-approximation, and acts as a coarsening step. We prove convergence and instance optimality.

研究の動機と目的

• hバージョン理論に比べて整備が不十分な、特にhp-adaptive FEMの完全な収束性および最適性理論の欠如に対処する。
• 従来のhp-AFEMが制限的な誤差推定器の仮定に依存するか、収束率の保証がないという限界を克服する。
• 局所的な解の正則性に基づき、メッシュサイズ（h）と多項式次数（p）の両方を適応的に調整する、頑健なhp-AFEMアルゴリズムを設計する。
• 次元n=1およびn=2における、提案されたアルゴリズムの理論的保証（収束性およびインスタンス最適性）を確立する。
• 適応的計算を通じて、解およびデータに内在するスパarsity構造を同定するフレームワークを提供し、指数的収束率を実現する。

提案手法

• アルゴリズムは、hp-NEARBEST（現在の離散解およびデータに対する近似最良のhp近似を所望の精度内で見つける）と、より細かい精度に解を改善するREDUCE（豊か化）の2つのルーチンを交互に実行する。
• hp-NEARBESTは、Binevによる最近の適応的hp近似アルゴリズムを用い、局所的誤差低減の可能性に応じて、多項式次数および要素分割を動的に調整する。
• REDUCEは、誤差が十分に低減されていない領域において、要素を分割するか多項式次数を増加させることで豊か化を実行し、後向き誤差推定器に従う。
• 本手法は、安定性および低減性を有する残差に基づく誤差推定器を採用している：推定器は摂動に対して安定であり、豊か化によって少なくとも1/2の要因で低減される。
• 理論的分析は、豊か化下での誤差推定器の低減性を確立することに依存しており、これにより各反復で誤差が固定された割合で低減されることを保証する。
• 収束性および最適性の分析はエネルギーノルムにおいて行われ、主要な推定には小さなパラメータεに依存するべき逆数の最大多項式次数の累乗が関与する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元および2次元において、収束性およびインスタンス最適性を両立するhp-AFEMを設計可能か？
• RQ2 h-豊か化とp-拡張をどのようにバランスさせれば、最適収束率が達成できるか？
• RQ3 適応的アルゴリズムが、コーナー特異性や局所的特異性を有する解に内在するスパarsity構造を発見する理論的条件は何か？
• RQ4 本手法で用いられる誤差推定器は、収束解析に必要な低減性および安定性を満たしているか？
• RQ5 REDUCEステップにおける反復回数は、メッシュ内の最大多項式次数にどのように依存するか？

主な発見

• 提案されたhp-AFEMは、n=1においてエネルギーノルムで収束性およびインスタンス最適性を達成し、n=2においても一部の仮定のもとで成立する。
• 誤差推定器は摂動に対して安定であり、$\sqrt{r_{\mathcal{D},\varepsilon}}|\mathcal{E}_{\mathcal{D}}(v,f_{\mathcal{D}}) - \mathcal{E}_{\mathcal{D}}(w,f_{\mathcal{D}})| \leq |v-w|_{H^1(\Omega)}$ の境界を満たす。
• 推定器は豊か化によって少なくとも$1/2$の要因で低減され、収束解析に必要な主要な低減性を満たす。
• REDUCEステップで必要な反復回数は$M \sim \log(1/\varrho) \|p_{\mathcal{D}}\|_{\infty}^{2+2\varepsilon}$ に比例し、従来の結果（多項式次数の5乗に比例）よりも改善されている。
• 1次元では理論が完全であり、解およびデータの十分なスパarsity仮定のもとで、最適収束率が達成される。
• 2次元では、主にハングイングノードの取り扱いやエッジベース誤差指標に関する技術的未解決問題を除き、理論は完全である。